패러독스

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어느 판결에서 판사가 피고에게 유죄를 선고하고 다음과 같은 형을 내렸다.

"다음주 월요일부터 토요일 사이 하루를 택해 교수형을 집행하겠다. 하지만 죄인에게 언제 형이 집행되는지 알리지 않는다. 고로 죄인은 형집행일이 언제인지를 예측할 수 없다."
죄인은 가만히 생각에 잠겼다가 갑자기 “판사는 지금 거짓말을 하고 있다! 판사의 말대로라면 이 사형은 결코 집행될 수 없다”고 소리쳤다. 그의 추론은 다음과 같았다. “판사의 말대로라면 절대로 토요일에는 형이 집행될 수 없다. 만약 월요일부터 금요일까지 형이 집행되지 않는다면 토요일 당일이 형집행일임이 예측가능하기 때문에 토요일에는 결코 교수형에 처해지지 않는다. 그럼 월요일부터 금요일 사이에 사형이 집행돼야 하는데, 만일 월요일부터 목요일까지 사형이 집행되지 않으면 반드시 금요일에 사형돼야 한다. 금요일도 또 예측이 가능하게 돼 사형은 집행될 수 없다. 금요일과 토요일은 불가능하므로 월요일부터 목요일까지만 남고 같은 방법으로 해나가면 목요일, 수요일, 화요일 차례로 형이 집행될 수 없다. 이렇게 되면 월요일밖에 남지 않는데 이것 역시 예측가능하므로 월요일부터 토요일 어느 날에도 사형은 집행될 수 없다” 죄수는 편한 마음으로 다음 한 주가 지나기를 기다렸다. 과연 죄수는 교수형을 피할 수 있었을까? 하지만 교수형은 아무 문제없이 수요일에 집행됐다. 어떻게 가능했을까?

판사의 판결은 (1)죄수를 교수형에 처한다 (2)죄수는 형집행일 아침까지도 그 날이 사형일임을 알 수 없다는 두 가지로 요약될 수 있다. 만약 (1)을 사실로 받아들인다면 사형은 집행될 수 없게 돼 (2)는 거짓이 된다. 만약 (1)을 거짓으로 받아들이면 결과적으로 사형일을 예상할 수 없는 꼴이므로 (2)가 참이 된다. 판사의 말을 믿을때 (1)이 참이면 (2)가 거짓이고 (2)가 참이면 (1)이 거짓이 되므로 판사의 말은 거짓말이 된다. 판사의 말을 믿지 않는다면? (1)을 거짓으로 보면 (2)는 참이고 (2)가 거짓이면 (1)이 참이 되니까 판사의 말은 참이다. 판사의 말을 진실로 받아들이면 거짓이고 거짓으로 받아들이면 참이라니?
이것은 일명 ‘교수형 패러독스’로 잘 알려져 있다. 기원은 정확하진 않지만 1940년경 한 교수가 학생들에게 다음주 중 어느 날에 기습적으로 시험을 치를 것이라고 예고한 것이 그 최초였다고 한다. 교수는 학생들이 시험날짜를 정확히 예측할 수 없다고 장담했고 한 학생은 죄수와 같은 방법으로 시험이 치러질 수 없음을 증명한다. 그러나 결국은 교수가 호언한 대로 시험이 치러졌다. 이런 논리로 판사의 판결은 옳았음이 입증됐다. 즉 위의 (1)과 (2)는 동시에 만족될 필요가 없는 것이다.

&From ''http://my.netian.com/~pusan5/paradox.htm''&
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유명한 패러독스죠. 그런데, 이 친절한 설명에도 불구하고, 이해가 가지 않습니다. '이 말은 거짓말이다' 같은 패러독스야... 그냥 그런가 보다... 하고 넘길 수 있겠지만. 이 패러독스는 이성으로 내릴 수 있는 결론과 실제가 다르지 않습니까? 이 우매한 꿈꾸는자에게 부디 지혜의 한줄기 빛을 비춰주시기를..

Quine이나 Smullyan같은 사람들도 많이 언급을 했을 정도로 유명한 패러독스입니다. 1948년인가 O'Conner가 이 논의를 처음 끄집어 냈다고 하죠. 여러가지 접근법이 존재합니다. 예컨대, "예측하다"의 정의를 명확히 하는 방법, 앞서와 같이 판사의 말을 믿느냐 안믿느냐로 접근하는 방법 등. 자세한 내용은 http://www.wischik.com/lu/philosophy/surprise-exam.pdf 를 보세요.

간단한 방법은 앞에 인용된 글의 설명법입니다. 좀 쉽게 설명한다면 이렇게 할 수 있겠죠.

본인이 죄수라고 생각하죠. 예컨대 금요일 밤까지 그 죄수가 살아있었다고 칩시다. 금요일 밤에 우리의 똘똘한 죄수는 머리를 굴려봅니다. "판사를 믿어보자구. 나는 월요일에서 토요일 사이에 나를 교수형을 하겠다는 판사의 말을 믿어. 흠... 그럼 나는 당연히 내일 처형되어야 하겠군. 근데, 그렇게 된다면 형집행일이 언제인지 내가 예측할 수 없을 거라는 판사의 말은 거짓이 되는군. 그럼 나는 판사를 믿기가 어려워 지는군. 만약 월요일에서 토요일 사이에 나를 교수형 하겠다는 판사 말을 의심한다면 어떻게 되지? 그럼 내일 나는 교수형에 처해질 수도 아닐 수도 있겠군. 그럼 형 집행일을 내가 예측할 수 없을 거라는 판사 말은 참이 되네. 이거 참 신기하군. 판사 말의 일부를 믿으려 하면 일부를 의심해야 하고, 일부를 의심하면 일부를 믿어야 하는군. 결국 나는 판사 말을 전체로서 믿을 수 없게 되는 것이고, 내일 내가 교수형을 당해도 그건 전혀 예측할 수 없는 일이 되는 거로군."

혹은 시간은 순행한다는 접근법을 좀 부연설명하면,

우리가 금요일날 밤에 "토요일에는 교수형을 해야하는데, 그럼 내가 예측을 할 수 있으니까 토요일날 교수형을 하는 것은 불가능해."라고 판단하기 위해서는 조건이 있습니다. "금요일 밤"까지 살아있어야 한다는 것이죠. 그런데, 목요일 밤에는 "금요일 밤"까지 살아있을지 그렇지 못할지를 알수가 없으므로 토요일을 제외할 수가 없게됩니다.

--김창준