해석학

수학도의 입장에서 해석학을 설명하는 가장 좋은 방법이 무엇일까 한참 고민하던 기억이 생각난다. 대학교때 해석개론이란 과목을 들으면서 수학과의 많은 학생들은 생소한 용어와 추상적인 개념에 부딪혀 좌절하곤 하는데 그 때부터 해석학에 대한 공포가 생기는 학생들도 생겨나고 심지어 수학에 대한 흥미를 잃어버리는 학생들도 생겨난다.고대에서부터 유래된 기하학이나 대수학에 비해 해석학은 오일러 이후에 구체화된 학문이자 독일의 바이어쉬트라스에 의해 체계적으로 연구되어진 근대의 수학이란 점에서 그리고 집합론과 위상수학의 도움을 받아 공리계를 완성시켰다는 점에서 보다 더 인공적인 느낌이 드는 것도 사실이다.

해석학을 다른 분야와 구분시켜주는 것은 역시 극한에 대한 개념일 것이다. 즉 해석학은 다양한 수학적 대상들의 극한에 대한 연구를 하는 수학의 한 분야라고 보는 것이 가장 적절한 것이다. 그래서 극한의 존재즉 Limit의 존재를 보장해주는 장치가 필요하게 되는데 그래서 등장하는 개념이 완비성이란 것이다. 완비성과 더불어 중요한 개념이 수렴과 발산이다. 수렴과 발산은 또한 다양한 정도를 포함하는 개념이기 때문에 극한의 성질을 구분하는데 유용한 개념일 뿐만 아니라 실제적 응용을 위해 다양하게 해석되어진다는 점에서 매우 폭넓게 정의되어진다. 해석학이란 커다란 울타리에서 연구되어지는 다양한 분야들은 모두 어떤 대상들의 극한과 그것들의 수렴과 발산에 대한 공부라고 보아도 틀림이 없다. 언제 극한이 존재하는지 언제 수렴하고 발산하는지 또한 수렴하는 정도의 차이가 또한 어떻게 되는지를 살펴보는 학문이 해석학이란 수학의 한 분야인 것이다. 이러한 극한의 존재에 대한 규명과 연구가 미시세계에 대한 우리가 볼 수 없는 세계에 대한 또는 너무 커서 우리가 규모를 짐작할 수 없는 거시세계에 대한 공부를 가능하게 해준다는 점에서 해석학은 매우 많은 응용분야를 포함하는 매우 방대한 가지들이 존재하는 분야이다.

예를 들면 물리학에서 정의하는 블랙홀이란 것은 사실은 빛들이 수렴하는 한 점으로 볼 수 있고 블랙홀의 존재는 수렴하는 유일한 점의 존재와 대응되어 블랙홀이 존재한다는 것은 사실상 빛들이 수렴하는 극한이 존재한다는 것과 같게 된다.
현재 분류되는 해석학의 주요한 분야는 다음과 같다.

1. Real Variables and Harmonic Anaylsis
   
2. One variable Complex Analysis
   
3. Several Variables Complex Analysis
   
4. Fuctinal Analysis and Operator Algebra
   
5. Partial and Ordinary Diffrential Equations
   
6. Geometric Analysis and Measure Theory
   
7. Probability Theory and Stochatic Analysis
   
8. Ergodic Theory and Dynamical Systems
   
9. Numerical Analysis and Approximation Theory
   
   

1. 오일러는 해석학의 화신으로 불리우는 사람으로 특히 무한급수의 계산을 잘 한 것으로 유명하다. 특히 그는 Euler's Summation Formula라고 불리우는 놀라운 식으로도 유명한데 사람들이 언뜻보기에 믿을 수 없는 식을 그는 거침없이 써서 다양한 급수의 계산에 성공하였다.

(Pi^2)
------- = 1 + 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(n^2) + ...
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수학분류