1. 중고등학교 수학에서 가장 중요하고 기본이 되는것 ¶
중고등학교 수학에서 가장 중요하고 기본이 되는 것은 이차방정식에 대한 이해입니다. 전형적인 중고등학교 수학의 문제들은 - 그것이 미적분이든, 벡터, 행렬이든, 무엇이 됐던간에 거의 이차방정식의 풀이로 귀결되게 마련이죠. 따라서 테크닉으로서 이차방정식의 풀이만큼 중요한 것은 없습니다. 단, 기계적인 공식 암기에 의한 풀이가 아닌 정말 내용을 이해하는 풀이를 할 수 있어야 하고, 단순한 풀이뿐만이 아니라 어떤 문제 상황에서 이차방정식이 유도되었을 때 그것이 의미하는 바를 '완전히' 이해할 수 있어야 합니다. 이차방정식의 이론은 중고등학교 수학에서 완결되기 때문에 '완전한 이해'라는 말이 말 그대로의 의미를 갖습니다. 즉, 이차방정식에 대한 어떠한 질문도 - 중고등학교 수학을 제대로 배운 사람이라면 - 대답할 수 있(어야 한)다는 것이죠. 구체적으로는 근의 공식, 판별식, 근과 계수와의 관계, 이차방정식과 이차함수의 그래프 사이의 관계 등의 주제를 숙지하고 있어야 합니다.
고등학교 수학은 기하학 문제를 해석학적 개념(미적분)을 이용하여 대수적문제(방정식)으로 바꾸어 푸는 것이라고 할 수 있습니다. 물론 이 도식에 맞지 않는 것도 많은 경우 이러한 문제의 일부분에 해당한다고 볼 수 있습니다. --그로모
2. 미적분학에서 무엇을 배우는가 ¶
미적분학은 보통 통년으로 배우게 되는데, 1학기에 배우는 내용은 일변수실함수의 미분과 적분이고, 2학기에는 다변수벡터함수의 미분과 적분에 대해 배웁니다.
1학기에 배우는 내용은 많은 부분이 고등학교에서 배운 내용과 중복됩니다. 고등학교에서와 다른 점은 급수에 대한 본격적인 소개에 의한 해석함수(analytic function) 개념의 도입입니다.(멱급수, 테일러급수) 또 이에 따라 고등학교에서 배우지 않은 쌍곡함수(hyperbolic function), 역삼각함수의 미분과 적분에 대해 배우게 됩니다.
2학기에 배우는 내용은 고등학교에서 배우지 않은 내용입니다. 그래서 보통 1학기는 그럭저럭 버티다가 2학기에 들어서 미적을 포기하는 경우가 많습니다. 2학기 미적을 공부할 때는 다변수벡터함수가 해석학보다는 오히려 기하학에 가깝다는 사실을 이해하는 것이 중요합니다. 일변수벡터함수가 바로 곡선이고, 이변수실함수의 그래프는 곧 곡면이죠. 곡선과 곡면에서의 미분과 적분이 2학기 미적의 주제입니다. 구체적으로 그린 정리, 스토크스 정리, 발산 정리 등을 이해할 수 있으면 됩니다.
한편 다변수벡터함수의 미분과 적분을 설명하자면 자연스럽게 행렬과 행렬식에 대해 공부하게 됩니다. 이런 점에서 보면 미적분학은 해석학, 기하학, 선형대수가 합쳐진 대학 수학의 종합 선물세트와도 같습니다.
미적분학에서 배우는 수학은 역사적으로는 오일러 시대의 수학입니다. 지금의 미적분학 교과서 체계는 상당부분 오일러에게서 유래되었다고 합니다.
3. 미적분학 조교가 전하는 좋은 학점 받는 요령 ¶
좋은 학점을 받기 위해서는 족보를 항상 가까이 해야 합니다. 어떤 유형의 문제가 시험에 자주 나온다면 그것은 가르치는 사람들이 그 주제를 중요하게 생각한다는 뜻이 되겠죠. 그런 주제들을 철저히 이해해야 합니다.( 미적분학 전체 중에서 그런 주제들이 차지하는 양은 그리 많지 않습니다.)
예를 들어 벡터장의 선적분이라면 잠재함수(Potential Function)를 가지는 벡터장의 선적분은 잠재함수의 양 끝값의 차와 같다는 사실이 핵심이고, 이 경우 그냥 계산은 잘 안되지만 잠재함수를 이용하면 쉽게 계산되는 선적분의 계산 문제가 단골 문제가 되겠죠. 무엇이 중요한지만 파악된다면 대학에서 배우는 수학이라고 해서 특별히 어려운 것은 없습니다.
말씀하신 선적분의 기본정리는 미적분의 기본정리와 마찬가지 내용을 곡선위에서의 적분으로 바꾼 것이고, 그린, 스토크스, 가우스의 정리도 모두 이 정리를 영역, 곡면, 입체에 적용한 것이라고 할 수 있습니다. --그로모