수학공부방법

일반적인 왕도는 없습니다. 하지만 어려운 문제(잔뜩 꼬아놓기만 한 문제)를 조금 풀어보는 것보다는 쉬운 문제(기본에 충실한 문제)를 많이 푸는게 좋은 방법입니다. 또, 많이 푸는 것보다는 제대로 푸는게 더 중요하고요. 교과서나 참고서의 풀이 예제에 나온 것처럼 연습장에 깨끗하게 써 가면서 풀어보세요. 그리고 조금씩 푸는 속도를 빠르게 하고요. 괜히 공식 써 가면서 단계를 줄이려고 하지 마세요. 교과서에 나온 풀이 방법이 가장 좋습니다. 이렇게 하다보면 자신도 모르는 새에 실력이 부쩍 늘게되죠.

우리나라 고등학교 수학에서 강조되는 것은 미적분학입니다. 이를 위해서는 빠른 인수분해를 익히면 도움이 됩니다. 괜히 복잡한 공식으로 익힐 필요 없습니다. 그냥 꾸준히 풀게되면 자연히 몸에 뱁니다. 문제에 나오는 인수분해는 (2x+3)(3x-1)는 나올 가능성이 거의 없습니다. (6x^2 + 7x - 3)의 인수분해면 별다섯짜리 난이도 문제입니다. 인수분해를 빨리 하면 문제를 푸는데 여유를 가지게 되므로 남는 시간을 생각해보고 검산하는데 써먹을 수 있습니다. 물론 이런 건 실제 생활에서 겪는 문제를 푸는데는 아무런 도움이 안 됩니다.

고등학교 수준의 인수분해는 누구나 암산으로 할 수 있습니다. 사실 주관식 답이 0, 1, 2 어쩌다가 5인 것처럼 실제 문제에 쓰이는 값은 제한된 범위에서만 나오니깐요. 이걸 외우려고 하면 외우기 힘들겠지만, 꼬박꼬박 공식을 써 가면서 하다보면 공식쓰기 귀찮아서라도 외워집니다. 인수분해 안 쓰고 풀 수 있는 문제는 없으니깐 빠른 인수분해는 여러모로 도움이 됩니다. 대신 정석 책에나 나오는 복잡한 공식은 외우지 마세요. 그런 공식을 유도하는 과정을 익혀놓으면 도움이 됩니다. 하지만 그 공식 자체는 도움이 별로 안 됩니다. 그 공식을 당장 써 먹을 수 있는 경우가 아니라면요.

기본에 충실한 문제를 자신의 힘으로 풀라. 시간을 투자한 만큼 결과를 얻을 것이다. 너무 뻔한 얘기인 것 같지만... 고등학교 1학년 당시, 수학적 감각및 문제 해결 능력이 거의 전무했던 흐름은 그 당시의 수학 실력으로는 이과에 가면 힘들 것이라는 담임선생님의 말씀을 듣고, 학기 중엔 하루 3시간 이상 방학중엔 평균 하루 8시간~10시간 가량 수학공부를 했답니다. (소위 말하는 엉덩이 공부-_-) 그렇다고 흐름이 매주 한권씩 문제집을 풀어제꼈냐 하면.. 결코 아니죠-_- 1,2학년때는 정석 일반, 실력을 수차례 반복해서 풀었고, 3학년에 가서야 다른 (약간의 응용이 가미된) 문제집을 풀기시작했죠. 흐름의 수학 공부에 있어서의 원칙은 절대 답안지를 보지 않는다 답안지를 보되 답을 맞추는 데에만 사용했고 풀 수 없었던 문제는 해답을 보는 대신 체크하고 넘어간 후 다른 문제를 풀고 시간이 남으면 다시 생각해 보고 그래도 모르겠으면 다음 날로... 심지어 수학에 자신감이 생긴 2학년 말부터는 풀었다는 확신이 든 문제는 답을 체크하지도 않는..(지금생각해보면 귀찮아서 그랬던게 아닐지) 이상한 행동을 보였죠. 어려운 문제에 대해서는 몇번 생각해보다.. 여전히 해결점을 찾을 수 없을 때는 (교과서의 예제 같은) 가장 쉬운 문제들 부터 조금씩 난이도를 높여보며 풀었죠. 그래도 해결이 안되는 나름대로 고난이도의 문제는^^;; 선생님께 여쭤봤죠. 어쨌거나 답안을 보는 것보다 사람이 하는 설명을 듣는게 머리에 오래 남거든요. 1학년 여름방학 이후로 수학에 많은 시간을 투자한 결과 어느정도 수학에 대한 감과 문제해결력이 생겼습니다.

교과서에 나온 풀이 방법이 가장 좋다

아 그렇군요! 요즘 우리나라 초중고교 교과서 (특히 영어교과서) 문제 많다고 말들도 많고, 교과서 가지고 착실히 공부하는 일을 바보같은 행동쯤으로 몰아붙이는 경향이 있는데 수학의 경우는 그래도 교과서를 믿을만한가 봅니다. (그럴 수 밖에 없는 게 수학만큼 보편적인 학문이 없기 때문이지요. 하지만 수학교육을 "어떻게"하느냐는 문제가 있긴 합니다. 틀린 것은 없지만, 효율성의 문제거든요. 이에 관해서는 EdsgerDijkstra가 쓴 논문이 아주 계발적입니다. 또, 광대옷을 입고 산수를 가르치는 모대학 수학교수님이 초중등 수학 선생님들을 가르치는 수업도 괜찮은 것 같습니다. 3 나누기 1/2이 6이 되는 이유를 초등학교 1학년 학생에게 설명하는 법 등을 이야기 합니다.) 공교육에서 희망을 발견하고 싶어하는,(좋습니다. 하지만 "제대로 알고" 희망을 발견해야죠. 감정적으로 대할 문제가 아닙니다.) 아직도 이따금 심심파적으로 학생시절 교과서 들여다보는 --Jimmy

저는 꾸준히 공부하라고 말씀드리고 싶어요. 하루에 10문제, 이렇게 정해두고 (10문제로 정하든 100문제로 정하든 할 수 있는 만큼 정하세요) 비가 오나, 눈이 오나, 가뭄이 드나 반드시 하루에 10문제는 푸는 것입니다. 중간고사 기간에도, 기말고사 기간에도 마찬가지고요. 적어도 중, 고등학교의 수학은 감각입니다. 감각만 갖고 있으면 어떤 문제를 갖다줘도 자신이 생기죠. 이 감각을 기르는 방법은 매일 꾸준히 수학문제를 푸는 것입니다. 당장은 효력이 없어보일지 모르나 1,2년 지나면 반드시 효과가 나타납니다.

저같은 경우엔 하루에 4문제 정도를 매일 풀었습니다. 물론 4문제만 푼게 아니고 수학공부할 때는 주욱 많이 풀어보고, 전혀 수학공부를 안 할때도 최소 4문제는 풀었다는 말이죠. 저는 정석으로 공부했는데, 좋은 문제, 어려운 문제는 문제마다 표시를 해 두었고, 그 중에서도 다시 한번 풀어야할 문제들은 페이지 한쪽을 살짝 접어놓았죠. 그래서 수학을 공부할 때는 접어둔 곳만 풀어보고, 조금 더 공부할 때는 체크해둔 문제를 추가해서 풀고, 조금 더 공부할 때는 체크 안 한 문제도 푸는 방식으로 접근했습니다. 꾸준히 실행했더니 언젠가부터 친구들이 수학은 모르면 Pion에게 라고 인정해 주더군요.. --Pion

먼저 꾸준히 풀어야한다는 점을 지적하고 싶구요...머든지 수학은 기하학적으로 풀면 쉽습니다. 고등학교 수준의 문제는 딱 보면 머릿속에서 그림이 쫙 그려지게 되면 수학이 정말 재미있어지지요.물론 그 수준까지 갈려면 상당히 많이 기하학적으로 생각해야합니다. 대학교 수학도 기본적으로는 기하학적 접근이 가장 좋을 듯합니다.

수학공부방법을 물어보는 분들을 대부분 스스로 수학을 못하다고 생각합니다. 그런데 이상한 것은 많은 사람들이 스스로 수학을 못한다고 생각한다는 것입니다. 진짜 문제는 수학 교육에 있다고 봅니다. 수학에 소질이 있는 사람이나 없는 사람이나 똑같이 못한다고 생각하도록 만드는 것이 바로 우리나라 교육인 거 같습니다.

이건 수학을 제대로 가르치지 못했기 때문이 아닐까요? 기본 원리를 이해하지 못한 채로 문제 풀이만 하다보면 시험 성적이 좋든 나쁘든 자신은 수학에 대해 잘 모른다고 생각하게 되고 자신감도 떨어지지요 --직감

수학을 잘 하려면, 이해가 중요하다는 것은 아시죠? ^^;그렇게 하려면 이해를 하면서 많은 문제를 풀어 봐야 하는데, 우리나라 교육은 공식 조차도 외우게 하니... 원... -.- 사실, 전 공식을 외워 본 적이 없습니다. 그래두, 전자공학과를 다녔고, 지금은 프로그래머로 입에 풀칠 하죠..

푸는데, 시간이 많이 걸린다는 것도 압니다. 하지만, 스스로 생각하는 것을 많이 연습해 봐야 합니다. 왜 1+1=2 일까요? 사람들 사이의 약속입니다. 규약, 프로토콜이죠..모든 것은 사람들 사이의 약속에서 시작해, 의사소통이 가능하게 된거죠...정말 풀어도 의문이 나는 문제가 있다면, 이렇게 이해하고 넘어가면 의외(?)로 쉽게 생각됩니다.이해를 잘해야 합니다. 이해를...--zim
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제 경우를 놓고 볼 때, 일반수학(공통수학)과 수학I,II는 접근 방법이 조금 달랐습니다. 수학I,II의 경우는 전체 교과서가 하나의 흐름으로 엮이는 것이어서 제대로 맥을 짚으면 상대적으로 쉽게 정복할 수 있었고, 일반수학은 다양한 영역에 대해 골고루 익숙해져야 하는 어려움이 있었습니다. 수학문제를 잘 풀려면 일단 교과서의 내용을 제대로 이해하고 연습문제를 잘 풀수 있어야 합니다. 어찌어찌해서 답을 얻는 것이 아니라, 개념을 정확히 이해하고, 해당 유형의 문제의 해법을 파악해야 합니다. 일반수학의 경우, 조금 난이도 있는 문제의 대부분이 최대최소와 관련이 있는 문제들인데, 이 경우 삼각함수, 근의공식(미분하여 0인 점 찾기) 등 여러가지 도구를 골고루 잘 사용할 수 있어야 잘 풀 수 있습니다. 고등학교때 2학년 1학기까지는 중간 밑에서 계속 헤매다가 어느 순간이 지나게 되니 못 푸는 문제가 별로 없는 순간이 오더군요. 지겹더라도 많은 수학문제를 골고루 제대로 풀어보면 많은 도움이 될 겁니다. 문제를 어떻게 풀었는지 잘 모르는 상태에서 많은 문제의 답을 구하는 건 별 도움이 안 됩니다. 특히 틀린 문제들을 왜 틀렸는지 점검하고 넘어가야 합니다.
1~2학기 정도 매일(주말 빼고 -_-) 1~2시간씩 수학문제를 제대로 풀면 큰 도움이 될 거라고 생각합니다.
그런데 졸업한지 몇년 지나지도 않았는데 미적분이나 제대로 할 수 있을지 모르겠습니다. -_-;;;;; 다시 과외를 시작해야하는 건지.

저 같은 경우에는 생각하는 수학공부 방법을 추천합니다. 저도 완전히 수학에 있어서 저만의 영역이 구축된 것은 아니지만 항상 수학을 공부하면서 '생각한다'는 개념으로 다가갔던 게 큰 도움이 된 것 같습니다. 알아두실 건 수학문제든 뭐든 문제를 푸는 것은 본질적으로 같은 의미라는 것입니다. 문제를 풀때 가장 중요한게 무엇이냐 그러면

1. 문제에 대한 깊이있는 이해와 파악
   
2. 문제에 적절한 해결방법 선택 및 적용
   
3. 정확하고 명확한 결론 도출
   
   

여기서 첫 단계에서는 수학적 표현용어와 공식들에 대한 기본적 이해와 활용할 수 있는 능력이 바탕이 되어야 완전히 숙지할 수 있으며 두번째 단계에서는 단순한 공식의 이해와 암기를 넘어선 완전한 응용과 창의가 필요합니다. 그리고 마지막으로 결론 도출까지 깔끔하게 끝내려면 논리의 틀을 갖추고 있어야 하겠고요..

사실 수학은 인간의 추상세계를 표현하고 거기서 발생한 의문과 문제를 해결하는 것이기에 수학만이 중요한 게 아니라 어떤 사실을 생각해내고 그것을 효과적으로 표현한다는 사실이 중요하다고 생각합니다. 중요한 것은 인간의 사고과정 그리고 기존의 생각보다 더욱 혁신적이고 본질적인 생각을 해내는 것이라고 생각합니다. 그렇기에 수학적 공식과 논리는 우리의 생각을 표현하는 무기로 삼고 그 틀에 갇혀서는 안 된다고 생각합니다. 무엇보다 중요한 것은 '생각한다' 는 것이고 그 문제풀이의 과정에서 속도는 얼마나 효과적으로 문제의 핵심에 다가서느냐에 달려 있다고 봅니다. 수학은 단순히 기술이 아니라 철학이고 사상이라고 보기 때문입니다. 스타크래프트에서 컨트롤만 빠르다고 최고의 게이머가 될 수 없는 것과 같은 이치죠.

아직 스스로도 많이 부족하지만 주제넘게 나서보는 JongHoon

제 경우가 특별한 것인지...저는 수학공부를 꾸준히 하라고 권하고 싶지 않습니다. 수학은 그야말로 이해과목이기 때문에 집중력있게 하는 것이 중요하다고 생각됩니다. 벡터를 공부할 땐, 벡터만 붙들고 다른 모든 것은 팽개치고 완전히 정복해버리는 것. 하루 24시간 벡터만 생각할 것. 꿈도 벡터꿈을 꿀 것. 모든 주위의 사물을 벡터로 볼 것. 뭐 이런식입니다. 벡터 끝내는데 대략 1주일 정도 걸리더군요. 물론 고교수준에서. 이후 엔간한 시간이 지나도 벡터가 나오면 자신있게 풀수 있게됩니다. 출제자의 의도가 다 보이므로...--zetapai

수학공부라는게 뭐 특별한 방법없습니다. 확실하게 개념을 이해하고나서 그 개념에 관련된 문제를 열심히 풀어서 감각을 익히는 겁니다. 아무리 이해만해서는 못써먹습니다. 실제로 문제를 풀어보는 것이 좋습니다. 물론 문제만 죽어라 푸는 것도 좋기는 하겠지만.. 그건 시간이 너무 오래걸립니다. 일단 개념을 이해하는것이 중요합니다. 그 다음에는 문제를 풀어야 겠죠. 틀린문제는 체크해뒀다가 다시 풀어야 합니다. 안그러면 모르고 그냥 넘어가 버리는 수가 있습니다. --Kwon

제가 고등학교때, 남들은 정석에 해법에 두꺼운 책들을 끼고 살았는데, 전 애초에 학습에 관심이 없었습니다. 그러다가 입시는 닥쳐오니 공부는 해야겠고, 해서 정석 같은걸 사서 보기엔 어차피 내 나쁜 머리로는 저런거 못풀겠지 싶어서 교과서만 죽어라 팠습니다. 교과서만 죽어라 파되, 항상 원리와 유도과정에 신경을 쓰려고 노력했습니다. 별 것은 아닌 것 같지만 그래도 원리를 중심으로 문제를 풀기를 습관화 하다보니, 좀 다른 유형의 문제가 나와도, 특별히 괴상하게 고등학교 수준을 벗어나는 것이 아니면 풀어낼 수 있게 되었습니다. 이러한 자세가 많이 도움이 되더군요.
저에게만 해당되는 이야기 일지도 모릅니다. --아무개

수학을 무진장 못하는 잡종이 수학공부방법에 대하여 글을 남기는것은 다소 우스운 감이 있지만 많은 노스모키안들이 수학은 교과서를 읽으라는 말을 적어두었기에 적어 봅니다. 그렇습니다. 교과서를 읽는것이 최상의 방법입니다. 근데 수학을 못하는 사람들이 막상 교과서를 읽으려면 막연한 느낌만 듭니다. 교과서의 개념해설이라는것은 쉽게 느껴지거든요. 문제도 별로 어렵게 느껴지지 않구요. 근데 막상 시험문제를 풀려면 시험문제는 아주 어렵게만 느껴지죠. 이럴때 수학의정석같은 책이 효력을 볼수 있습니다. 수학의정석의 문제를 답을 보지않고 꾸준히 풀고 교과서를 다시보게 되면 교과서의 개념해설이나 문제가 달리 보이게 되는것을 느낄수 있을것입니다.(이때 이걸 잘 못느끼신다면 당신은 천재이거나 혹은 교과서를 읽을 준비가 덜 되어 있는 것입니다.) 이 때 수학교과서를 보게되면 교과서의 개념해설 한줄 한줄을 음미해가면서 읽는다는 잡종의 말이 이해가 되실 것입니다. 덧붙여서 말씀 드리고 싶은것은 수능 수학 기출문제를 완벽하게 풀어보는 것도 매우 좋은 방법입니다. 그 기출문제는 정말로 공들여서 만든 문제이기 때문입니다. 문제집을 적당히 만들어서 팔기 위해 만든 문제가 아니라 비교적 훌륭한 출제진들이 공들여서 만든 문제이기 때문입니다.

Khakii : Khakii의수학

Echo : Echo의수학

adnoctum : adnoctum의 수학 - 핵심: Metacognition 메타인지(상위인지, 초인지)

수학 혹은 일반적인 문제해결 전반에 관한 책으로는 Polya의 HowToSolveIt 만큼 영향력 있는 책은 없었다.
Are Your Light On? by Gause, Donald C./ Weinberg, Gerald M
정신지도자를 위한 제법칙 by 데카르트
생각의 습관에 날개를 달아라 by 후나카와 아쓰시

see also 수학의정석

학습기법분류, 수학분류