푸앵카레가설

HenriPoincare

어느날 게으른 당신은 의사로부터 산책을 하라는 권고를 받고 동네 공원을 산책하기로 했다. 그런데, 당신은 게으른 천성을 이기지 못하고 정해진 산책로를 매일마다 아주 조금씩 바꿔나가 점점 짧게 만들고 있다. 그러기를 몇달, 어느날 당신은 당신의 산책로가 집 문 앞을 나서자마자 돌아오는 것으로 되어 있는 것을 발견하게 된다!

이 경로의 연속적 변환이라는 개념을 일단 파악한다면 여러분은 푸앵카레가설을 이해하기 위한 첫번째 고개를 넘은 것으로 대수적위상수학(AlgebraicTopology)의 중요한 개념 중 하나인 호모토피군의 개념을 이해하기 시작한 것이다. 좀 더 수학스러운 사례에 적용해보자.

여러분의 게으른 행태를 관찰하던 어린왕자는 여러분을 어린왕자의 별여행에 초빙했다. 그러나, 여기에는 음모가 있는데 즉슨, 어린왕자 또한 매우 게을러 별의 토폴로지를 파악하는 수단으로 여러분을 이용하고자 하는 것이다.

여러분이 구형의 별에 도착했다고 해보자. 그리고 여기서 예의 산책을 나간다. 쉽게 상상할 수 있는 것은 여러분이 어떤 산책로를 택하든 결국 여러분은 게으른 천성을 이기지 못하고 몇달 후에는 산책로가 '나가는 듯 돌아오는' 꼴이 되고 말 것이라는 것이다.

반면 여러분이 도너츠모양 별에 도착했다고 해보자. 이 경우는 약간 사정이 다르다. 예를 들어 도너츠의 두 개의 원 중에서 하나를 한바퀴 도는 산책로를 생각해보자. 이 경우는 아무리 경로를 바꾸어도 적어도 당신은 원의 둘레만큼 거리는 걷지 않으면 안된다. 원을 도는 것을 포기하는 과감한 결정을 내리지 않는한 이 사실을 바꿀 수 없다. 이것을 관찰한 우리의 교활한 어린왕자는 이 별 위에서는 경로의 연속적 변화를 허용했을 때 세가지 다른 종류의 경로들이 존재한다는 것을 알게 된다. 하나는 무한히 작은 경로로 줄어들 수 있는 것들. 나머지 두개는 도너츠의 각각의 원으로 줄어드는 것들.

그런데, 우리의 어린왕자 다시 한번 짱구를 굴려본다. 분명 방금 우리가 얻은, 연속적 변화를 고려한 다양체 위의 경로들의 모든 종류, 즉 호모토피군은 분명 다양체 위의 토폴로지에 대해 중요한 정보를 주고 있다. 그러나, 어느 정도까지 정보를 주고 있을까?

예를 들어 모든 경로들이 무한히 작은 경로로 연속적 변환 될 수 있다면 그 다양체는 구의 토폴로지를 하고 있다고 할 수 있을까? 혹은 좀더 수학적으로 그 컴팩트 다양체의 첫번 호모토피군이 trivial하다면 그 다양체는 구와 동위상일까?라는 것이 바로 푸앵카레가설이다.

일단 어린왕자가 걱정하는 2차원 곡면의 경우 소위 '분류정리'에 의해 자명하다. 그리고 5차원 이상은 Smale에 의해 일반적으로 참임이 증명되었으나 4차원의 경우는 난제로 남아있다가 Donaldson이 물리학의 Yang-Mills 이론 (좀더 정확히는 Yang-Mills 이론에서의 Instanton이론)을 이용하는 기상천외한 방법을 사용해 참임을 보였다. 유일하게 미해결로 남아있는 것은 3차원으로 Clay Math Institute에 의해 백만불의 상금이 걸린 난제 중의 난제이다.

푸앵카레가설이 풀릴락말락하고 있다:
Celebrated Math Problem Solved, Russian Reports : NYT
A World of Doughnuts and Spheres : NYT
The Poincar\'e Conjecture 99 Years Later: A Progress Report
If it looks like a sphere... : Science News

두번째 기사에서 발견한 인상적인 문장:
{{|That grown men and women can make a living pondering such matters is a sign that civilization, as fragile as it may sometimes seem, remains intact.|}}

수학분류