Algebraic Topology

AbstractNonsense에서:

호몰로지대수는 "대수적위상수학(AlgebraicTopology)"의 중요한 도구로 쓰이는데, 대수적위상수학에서는 위상의 문제를 대수의 문제로 일단 치환한 후에는 원래의 위상적 의미는 완전히 사상시켜버린 상태에서 순전한 추상 대수의 계산을 통해 해답을 구하게 된다. 이와 같이 원래 문제의 문맥과는 전혀 동떨어진 추상적인 조작을 AbstractNonsense라 한다.

질문 :
위상의 문제를 대수의 문제로 일단 치환한 후 에 대해서 좀더 쉬운 예가 있을까요?? 문제의 본질에 있어서 그 본질을 잠시 접어두고 다른 구도(차원)로 접근한다는 개념인가요?? 신기합니다.

답변 :
어떤 물리적인 대상을 수학적으로 모델링하는 것과 마찬가지 아닐까요? 우리는 단순히 논리적인 수식을 연산하여 대상이 어떤 상태이고 어떻게 변할 것이라고 예상하죠. 실제 대상과는 전혀 상관없이 종이와 연필만으로요(요즘은 컴퓨터가 많이 쓰이지만).

위상의 문제를 대수의 문제로 치환하는 것은 말씀하신 것처럼 어떤 물리적 대상을 수학적으로 모델링하는 것과 흡사합니다. 이 경우는 위상의 문제를 대수적으로 모델링하는 것이지요. 대수적으로 모델링하면 문제가 되는 상황의 핵심이 간명하고 계산가능하게 재정의됩니다(단계1). 호몰로지 대수에 있어 특이한 점은, 보통 모델링 한 후의 조작은 원래의 상황을 염두에 두면서 거기에서 직관을 얻어 진행하기 마련인데, 그렇지 않고 추상적이고 맥락과 무관한 기호의 조작만으로 결과를 얻어낸다는 점입니다(단계2) 참 신기한 일인데요, 그것이 어떤 고차원적인 시각에서 보면 자연스러운 것일지는 저도 잘 모르겠습니다. 무언가 우리가 아직 모르는 것이 있겠지요. 예는 단계1과 단계2를 나누어 다음에 보충하도록 하겠습니다. --Khakii

[edit]

단계1 : 위상의 문제를 대수의 문제로 번역하는 단계 ¶

위상(Topology)이란 공간의 두 점이 얼마나 가까운가 하는 정도를 표현하기 위해 수학적으로 정의된 기준이다. 우리가 생활하는 삼차원공간에서의 가까움에 대해서는 모든 사람이 직관적으로 알고 있지만, 수학에서는 사고실험에 의해 얼마든지 이상한 공간을 만들어 낼 수 있기 때문에 일반적으로 위상과 같은 정의가 필요해진다. 위상수학의 핵심개념은 가까운 두 점은 항상 가까운 두 점으로 보내는 함수에 대한 '연속'의 개념으로, 이에 의해 연결성, 옹골성, 분리성 등의 여러 위상개념이 정의된다.

이제 공간의 위상이 어떻게 분류되고 그것이 대수와 어떻게 연관되는지 예를 들어보도록 하자. 다음 세 공간을 생각해보자.

좌표평면 전체
좌표평면에서 원점을 뺀 공간 R^2 -
원점을 중심으로 하고 반지름이 각각 1과 2인 동심원으로 둘러싸인 부분(annulus)

위 세 공간 중 b와 c가 위상적으로 동등하고(위상동형, homeomorphic) a는 다르다는 것은 초등학교 때 산수교과서에서 '도넛과 커피잔은 같다' 등의 이야기를 들어본 기억이 나는 사람이라면 직관적으로 이해할 수 있을 것이다. b에서 가운데 구멍을 점점(<--이것이 '연속'의 개념!) 늘여가고 바깥쪽 둘레를 안으로 모아가면 c의 모양이 만들어진다. 반면 a는 일부러 '구멍을 뚫기 전에는'(즉, 연속성을 깨기 전에는) b또는 c와 같은 모양으로 만들 수 없다.

이 상황을 어떻게 대수의 언어로 번역해 낼 수 있는가? 이를 위해 공간 b에서 좌표평면 위의 원점이 아닌 한점 P(가령 (1,0)를 고정하고 점 P를 시작점과 끝점으로 하는 단일폐곡선들의 집합 S을 생각하자. 여기서 단일폐곡선이란 self-intersection이 없는 곡선 - 실로된 고리를 겹치지 않게 방바닥에 펼쳐놓았다고 생각하면 된다 - 을 말한다. 그러면 집합 S의 곡선들은 다음 두가지 중 하나로 분류된다.

곡선 내부에 원점을 포함한 곡선
곡선 내부에 원점을 포함하지 않은 곡선

이와 같은 분류의 위상수학적 의미는 1에 속한 곡선은 결코 - 공간 b를 떠나지 않는 한 - 2에 속한 곡선으로 연속적으로 변형될 수 없다는 점이다. 물론 반대의 경우도 마찬가지다. 또한 1에 속한 모든 두 곡선들은 서로 연속적으로 변형될 수 있으며(2의 경우도 마찬가지), 따라서 위상적으로는 공간 b에는 1의 곡선 하나와 2의 곡선 하나, 모두 해서 두 종류의 곡선만이 존재한다. 마지막으로 2의 곡선들은 모두 한 점 P로 연속적으로 변형할 수 있다는 사실을 관찰할 수 있다. 즉, 2의 곡선들은 위상적으로는 점이나 마찬가지인 것이다. 결론적으로 공간 b에서 위상적으로 Trivial하지 않은 곡선은 1의 곡선 하나 뿐이다.

이제 1의 곡선 C를 하나 고정하자. 예컨대 C를 원점을 중심으로 하는 단위원으로 생각해도 좋다. 곡선 C의 원주를 반시계방향으로 n바퀴 도는 곡선을 C_n, 시계방향으로 n바퀴 도는 곡선을 C_{-n}이라고 하자. 그렇게 하면 모든 정수 n에 대해 곡선 C_n이 정의된다. (C_0는 점 P와 위상적으로 같은 Trivial한 곡선으로 정의한다.) 이때 다음 사실을 알 수 있다:

만일 n 과 m이 서로 다른 정수이면, C_n과 C_m은 위상적으로 같지 않다.

이 명제의 직관적인 의미는 원점을 뺀 공간 b에서는 한번 원점 주위를 '감아버리면' 다시 되돌릴 수 없다는 것이다. 한번 감아서 양 끝점이 붙어버리면 그것을 떼 내지 않는 한 연속적으로 풀어낼 수는 없다. 또한 원점둘레로 3번 반시계방향으로 감은 다음 다시 4번 같은 방향으로 감은 곡선은 7번 감은 곡선과 같고, 1번 감고 반대방향으로 3번 감은 곡선은 시계방향으로 2번 감은 곡선과 같다. 즉,

C_n + C_m = C_{n+m}

따라서 우리는 여기서 다음과 같은 주장을 할 수 있다:

공간 b는 대수적으로는 정수집합 Z와 같은 성질을 가지고 있다.

이것을 대수적위상수학의 용어로 다시 말하면 다음과 같다:

공간 b의 일차 기본군(Fundamental Group, 또는 포앵카레군)은 정수군이다.

여기서 왜 공간 b의 일차기본군이 정수군이 되었는지 되짚어보자. 이를 위해 공간 a를 생각한다. 이 경우 위상적으로 Trivial하지 않은 곡선은 존재하지 않는다. 왜 그럴까? 공간 b에는 있는데 공간 a에는 없는 것은? 그렇다. 공간 b에는 구멍이 있기 때문에 이를 중심으로 nontrivial한 곡선이 정수개 만큼 생겼던 것이다. 그렇다면 공간에 구멍이 2개 있다면? 이때는 두 구멍을 중심으로 제각각 nontrivial한 곡선집합이 생기고 이들 서로는 독립적이다. 이런 공간의 일차기본군은 두 정수군의 자유곱(Free Product) Z * Z로 주어진다. 즉,

구멍이 없는 공간 --> 일차기본군 = 0
구멍이 1개 있는 공간 --> 일차기본군 = Z
구멍이 2개 있는 공간 --> 일차기본군 = Z * Z
...
구멍이 n개 있는 공간 --> 일차기본군 = Z * Z * ... * Z(n개)

물론 기본군에는 일차기본군만 있는 것이 아니다. 고차기본군 역시 곡선보다 고차원의 물건을 이용해 정의된다. 또한 homologus한 cycle을 이용해서 기본군을 좀더 단순화한 '호몰로지군'도 정의되며, 호몰로지군 역시 기본군처럼 공간의 구멍이 뚤린 정도를 측정하는 도구로 사용된다. 일반적으로 주어진 공간의 n차원 호몰로지군은 그 공간에 'n차원구멍'이 몇 개 뚫려 있는지에 대한 정보를 담고 있다.

[edit]

단계 2 ¶

'언젠가' 쓰여질 수도 있을 것으로 추측됨.

YAGNI (YouArentGonnaNeedIt). 일단 이게 뭐고(이모꼬), 어디에 쓰이고, 이걸 공부하려면 뭘 알아야 하고, 이걸 공부하려면 어떤 자료가 좋고 정도만 간략하게 소개해 놓고, 다른 사람들이 살(질문이건 보충정보건 간에)을 덧붙이기를 기다리는 게 어떨지요. --김창준

대수위상(AlgebraicTopology)을 공부할 때 어려운 점은 대수위상이 높은 수준의 수학적 성숙도(mathematical maturity)를 요구한다는 점이다. 대수위상의 본질은 쉽게 계산이 안되는 대상을 계산 가능한 것으로 바꿔내는 것인데, 이 과정에서 추상적이고 복잡한 대수적 개념과 계산 방법이 사용된다. 대수위상에서는 이러한 추상적 언어에 대한 숙달과 문제의 기하학적 본질에 대한 통찰이 동시에 상호작용하며 이루어져야한다. 쉽지 않은 일이다.

대수위상을 사용한 유명한 정리 중에 브라우어의 고정점 정리(Brower Fixed Point Theorem)가 있다. 이 정리는

{{|D가 평면 위의 반지름 1인 원판(둘레 포함)이면, 임의의 연속함수 f : D -> D는 고정점을 갖는다(즉, f(x) = x인 x가 D안에 적어도 하나는 있다)|}}

는 재미있는 내용인데, 증명은 귀류법으로 하며 원판 D의 기본군(fundamental group)이 trivial인 반면 원판의 둘레인 원 S의 기본군은 정수군 Z라는 사실을 이용한다.

수학분류