007빵의 수학적 원리 ¶
업계(?) 최초로 007 빵으로 Metropolis algorithm을 설명해 보고자 합니다. Metropolis algorithm 은 MCMC method 라 불립니다. Markov Chain MonteCarloMethod 의 약자입니다. 007 빵은 4th order Markov Chain Monte Carlo 라고 할 수 있습니다. 0, 0, 7, 빵 4번에 걸쳐 다른 데를 돌아야 한사람에게 가지요. 우리 민족의 수학적 역량을 과시하는 대단한 게임이라고 생각합니다. 여기서는 Metropolis algorithm을 설명하기 위해서 단순화시켜 '빵' 만 한다고 생각해 봅시다.
우리 민족만의 게임은 아닙니다. Chinese American, Korean American, Tiwan American 등등이 "오 오 세븐 뱅" 하면서 즐기는 걸 봤습니다. 물론, 저도 그걸 듣고는 뒤집어 졌습니다만.. -- 이지수
일단 먼저 이거 왜 하는지 설명해야 합니다. 어떤 확률 모델로부터 sampling 을 하기 위해서입니다. 통계학에서 sampling 이 중요한 이유는... 우리가 모집단 전체를 가지고 뭘 하기 힘든 경우가 많기 때문입니다. 우리나라 전 인구를 한자리 모아놓고 뭘 할 수 있나요? 그 중에서도 특정한 확률 모델로부터 sampling 하는 하나의 방법이 Metropolis algorithm입니다. 예를 들어, 어떤 비공개 동호회에서 게시판에 글 올린 확률대로 구성원들을 sampling 한다고 생각해 봅시다. A 라는 사람이 수십명 중에 제일 글을 많이 올려서 50% 라고 하고 B 는 25% C 는 10% 나머지는 다른 사람들이 올렸다고 합시다. 먼저 아무나에게서 시작해서 '007' 은 생략하고 '빵' 을 때리는 겁니다. 여기서는 A 로부터 시작했다고 가정합니다. A 가 '빵' 때렸는데... B 에게 때렸습니다. 그런데 A 에 대한 B 의 글 올린 확률의 비는 얼마입니까? 0.5입니다. 그러면 0.5 의 확률로 B 에게 넘어갑니다. A가 2번을 때리면 한번만 B 에게로 간다는 의미입니다. B가 받았다고 칩시다. 다시 '빵'을 때렸는데 A에게 때렸습니다. B 에 대한 A 의 글 올린 확률의 비가 1을 넘을 때는 무조건 A 에게 갑니다. 이제 다시 A 가 '빵'을 때렸는데... C 에게 때렸습니다. 확률비는 1/5 니까... 0.2 의 확률로 C 에게 넘어갑니다. 여기서는 편의상 넘어갔다고 칩시다. 이런 식으로 오래 계속하다보면... 위의 경우에는... A, B, A, C ... 로 시작되는 sample 들이 계속해서 나올 테고... 이 sample 에서의 A, B, C를 비롯한 다른 구성원들이 나오는 확률은 처음에 제시한 글 올린 확률인 50, 25, 10% 등과 정확히 일치하게 됩니다.
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