Category Theory

군(群, group)은 일반적인 수와 연산의 개념을 추상화하여 만들어낸 수학적 대상이다. 위상공간(topological space)은 '멀고 가까움'의 개념이 있는 공간을 최대한 추상화하여 만들어낸 수학적 대상이다. 이미 이들은 엄청난 추상화 수준에서 많은 구체적인 대상들을 포괄하고 있지만, CategoryTheory의 입장에서는 이들 역시 Category의 특수한 예에 불과하다.

Category는 몇 가지 조건을 만족시키는 대상(object)과 그들 사이의 대응관계(morphism)들의 모임이다.

두개의 대상 A, B에 대하여 A에서 B로의 Morphism(기호로는 Hom(A,B))을 대응시킨다. 대개의 경우 Hom(A,B)는 집합으로 제한한다.
이들은 구체적인 경우에서 보았던 사상이 추상화된 형태로 다음의 합성 성질을 만족한다.

Hom(A,B) X Hom(B,C) ---> Hom(A,C), (f,g) |-> fog로 합성을 표시할 때,

(fog)oh = fo(goh) (결합법칙)

그리고 Hom(A,A)는 왼쪽-오른쪽 합성에 대해 항등원으로 작용하는 항등사상 Id(A)를 가지고 있다.

군범주(group category)에서 object는 각각의 group들이고, morphism은 그 group들 사이의 group homomorphism이 된다. 위상공간범주(topological space category)에서 object는 각각의 topological space들이고, morphism은 그 topological space들 사이의 continuous map이 된다. 즉, 군이나 위상공간이나 뭉뚱그려 보았을 때는 대상이 있고, 그 대상들 사이에 (대상의 성질을 보존하는) 대응관계가 있다는 점에서는 동일하다는 것이다.

(만질것: Group 하나를 Category로 정의하는 것, abstract catogory와 concrete category, big-small category에 대하여....)

functor는 서로 다른 두 category 사이의 (구조를 보존하는) 대응 관계이다. functor는 CategoryTheory에서 중심적인 역할을 하는데, 그것은 functor가 바로 '서로 다른 수학 이론 사이를 연결해 주는 다리'이기 때문이다. 예컨대 대수학에서 개발된 여러가지 계산 방법들을 위상수학에 적용하는 대수적 위상수학(AlgebraicTopology)은 한마디로 위상공간범주와 군범주 사이의 다양한 functor를 연구하는 이론이라고 할 수 있다. 기본군(fundamental group), 호몰로지군(homology group)은 대수적 위상수학에서 사용하는 functor의 대표적인 예이다.

(이건 시간이 나면 계속.)

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