세차운동

세차운동이란 회전하는 물체의 회전축이 동시에 회전하는 현상이다. 이것은 회전축에 빗겨 작용하는 힘이 작용할 때 일어난다.

1. 기울어진 돌고 있는 팽이의 축이 회전하는 현상. 쉽게 볼 수 있다.
   
   
2. 지구는 열심히 회전운동(자전)을 하고 있다. 그것도 무중력상에서 별다른 마찰없이 운동을 하고 있으므로 이론대로라면 매년 같은 날 같은 시에 관측하는 별들은 같은 자리에 있어야 한다. 그런데 태양이 지구를 당기고 있기 때문에 지구의 자전축이 원을 그리면서 아주 천천히 돌게 되어 별자리의 위치가 해마다 조금씩 달라지게 된다.
   
   

세차운동은 여러가지 방식으로 설명 가능하다. 초급물리학에서는 회전축에 빗겨 작용하는 힘이 회전축에 토크를 작용시키기 때문으로 설명하고, 좀 더 고급이 되면 오일러 방정식을 풀면 자연스럽게 유도된다. 그러나, 아주 간단하게는 회전운동의 비가환성(Non-Abelian)에 의해 설명할 수 있다.

조그만 콩알을 한번 준비해 테이블에 놓아보자. 그리고, 테이블에 서로 수직인 x, y축을 정한다. 그리고, 콩알을 움직여 본다.

1. Dx: x축에 평행한 10cm 움직임
   
2. Dy: y축에 평행한 15cm 움직임
   
   

이 두가지 운동은 가환적이다. Dx-Dy순으로 하거나 Dy-Dx순으로 해도 최종 콩알의 위치는 달라지지 않는다.

그러나, 회전운동을 한번 생각해보자. 책을 하나 준비해 테이블 위에 놓는다. 그리고 책의 가로에 평행한 방향을 x축, 세로를 y축, 그리고 x, y 모두에 수직한 높이 방향을 z축으로 삼는다. 그럼 이제 두 가지 운동을 생각해 본다.

1. Rx: x축을 중심으로 90도 시계반대방향 회전.
   
2. Rz: z축을 중심으로 90도 시계반대방향 회전.
   
   

일단 Rx-Rz 경우를 생각해보자. Rx, 즉 책의 가로방향을 축으로 시계반대방향으로 책을 돌리면 책이 벌떡 서게 된다. 그 다음 테이블에 수직한 방향을 축으로 다시 시계반대방향으로 책을 돌리면 (Rz) 책이 짧은 모서리를 바닥으로 해서 선 채로 책 표지가 오른쪽(또는 좌표계 방향의 선택에 따라 왼쪽)을 향하고 있을 것이다.

이제 Rz-Rx 경우를 생각해보자. 우선 Rz, 테이블에 수직한 방향을 축으로 시계반대방향으로 돌리면 책이 테이블에 놓인채로 그대로 방향만 바꾸게 된다. 그다음 Rx를 하면 이번에는 책의 긴모서리가 바닥으로 해서 선 채로 책의 표지는 여러분 혹은 여러분 반대방향을 향하게 된다.

이 실험에서 우리가 알 수 있는 것은 이렇다. 두 개의 다른 축을 중심으로 하는 두 다른 회전운동은 그 순서를 바꿀 경우 서로 다른 결과를 보이게 된다. 이것이 회전운동의 비가환성이다.

좀 더 자세히 관찰해보면 이 두 개의 결과들은 서로 y축을 중심으로 한 회전을 포함한 복잡한 회전운동에 의해 연관되어 있다는 사실을 알게 된다!

결론적으로 가환성을 가지는 운동과 달리 비가환성의 운동인 회전운동은 두 독립적인 운동들의 합성은 전혀 새로운 방향의 운동을 포함하게 된다는 것이다.

이런 관계를 수식으로 정확하게 표현할 수도 있는데, 이 경우는 3차원에서 회전변환을 기술하는 SO(3) 리군에 대한 지식이 약간 필요하다.

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