무한대의정의

수학자들이 말하는 '무한대'란 수가 아닌 오히려 추상적인 개념이다.

1, 2, 3, 0, 1/2, 3.141592... 따위의 수도 어차피 추상적인 개념이다. “무한대”를 수가 아니라고 볼 이유는 없다. 그것은 “수”를 무엇으로 정의하느냐에 달려 있다.

무한대는 '수'가 아닙니다. 무한대 - 무한대 같은 연산이 정의되지 않기 때문이죠. '수'의 수학적 정의가 무엇인지 잘 모르겠지만, '수'는 최소한 ring의 원소는 되어야 할 것 같습니다.

만약 0부터 시작해서 1초마다 1씩 커지는 수가 있다고 하자. 시간이 멈추거나 거꾸로 가지 않는 한, 이 수는 한없이 커진다는 사실이 명백하다. 이 때 그 수는 "무한대에 가까워 진다"고 말할 수 있다.

시간을 무한대로 보내지 않는 이상 유한한 값인데요. 그런데 '무한한 시간'을 어떻게 정의하지요? 우리가 알고있는 물리학은 '유한한 시간'만 말하고 있는데요.

만약 우주에 암흑물질이 없어서 우주가 열린 우주라면 시간은 무한해집니다.

7세기의 학자 브라마굽타(Brahmagupta)는 '임의의 수를 0으로 나눈 몫'을 무한대의 수학적 정의로 사용하였다. 그러나, 이 정의는 틀렸다. 영으로나누기가 불가능하기 때문이다.

무한대란 한계가 없는 띠..(?) 인가요 ^^? 무한대란 계속적인 것, 끝이 없는 것. 좀 다른 관점에서 다르게 생각해 볼 순 없나요? 두 가지로 생각해 볼 수 있을 것 같은데. 유한한 것이 계속적으로 있는 것, 아니면 limit이 없는 것. -- 사과나무

사과나무님의 유한한 것이 계속적으로 있는 것 이라는 말을 보니, 앞 뒤가 뒤집어 진 게 아닐까, 하는 생각이 스쳤습니다. 즉, "무한을 유한으로" 제한한 것이 '수학'이 아니었을까 하는. "유한한 것이 계속적으로 있는 것이 무한대이다" 라고 하기 보다는 "무한한 것을 보기 좋게 잘라 놓아 '수'라는 형태로 인식 가능하게 만들었다." 라고 하게 되면, 철학에서 "절대적 진리는 오직 하나, '모든 것은 변한다'는 것" 이라 주장이 있는 것과 마찬가지로, 수학에서 "'무한대'는 가정 없이 그 자체 진리로 존재하는 유일한 수로서의 절대수"가 아닐까나 하는 횡설수설. (끄응, 선생님 눈치보기) --맑은

무한대라는 가정(?)은 필요에 의해서 생겨난 수 같습니다. 옛날(?)에는 0이란 자릿수를 표시하기 위한 기능과 아무것도 없는것...이라는 기능의 수였습니다. 하지만 임의의 수를 0으로 나눠보니. 그 당시로서는 도저히 이해할수 없는 결과가 나와서 나중에 그 값을 무한대라고 가정한 것 같습니다. 무한대는 0이란 수의 존재성을 설명하기 위해서 생겨난 수(?) 인 것입니다. 무한대는 0(아무것도 없는것)의 반대 개념이라고 할수 있습니다.--사과나무

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0에 대하여

상상한것보다 언제나 큰 수. -- ohdh2003

수직선을 원과 일대일 대응할 수 있는데 (소위 streographic projection이라나 하는 지질학하는 사람들이 쓰는...) 남극이 영(zero)에 해당하고 북극이 +혹은 -무한대에 해당한다. --ohdh2003

무한대는 북극이 아니라 수평선 너머 저쪽 같습니다. 가도가도 도달할 수 없는 그 곳. 아른아른 사람을 유혹하는 그 곳. 지금 보고 있는 저쪽이 무한대로군요, +0/0 이고요. 내 뒤통수 쪽으로 지구를 돌아서 사실상 바다 건너 저편에서 내가 서 있는 쪽으로 수평선을 바라 보는 그 사람도 0/0를 보고 서 있어요, -0/0 가 되나요? 개인적으로 무한대는 도달할 수 없다고 생각되는데, 원이 된 수직선에서는 0/0에 도달하게 되네요. 서로 반대 방향의 무한대를 찾아 여행을 떠났던 두 명의 수학자는 한 점에서 머리 박치기를 하게 되나요? 물론 혼자서는 여전히 도달할 수 없어 보이고, 혼자서는 머리 박치기도 안됩니다. 그러나 혼자서도 도달 할 수 있을 것 같아요. 굴착기 한 대를 사서 지구를 뚫고 정 반대의 위치로 직선 이동해서 깃발을 내리 꽂고 여기가 바로 무한대입니다. 라고 공표를 하는 겁니다. 그러면 완전히 새 되는 거죠. 아무튼, 도처에 널려 있는 것이 바로 그 한 점이니, 원으로 견주는 이 설명에 입각한 0/0는 결국 우주를 말하는 것 같아 보입니다. 그런 뜻에서 보자면, 0/0는 수리적 개념은 아닌가 봐요? 아 그리고 큰 게 또 하나 보였습니다. 무한대는 도달할 수 없는데 도달할 수 있습니다. (띠용~) 제가 모르는 심오한 뭔가가 있는 건가요? 참고로, 무한대의 기호인 '∞'가 폰트가 그렇고 그래서, 그것 대신에 모양이 닮은 꼴인 '0/0'를 사용했습니다. (아이, 머리 아파) --맑은

모든 x를 1/x로 일대일대응시킬 수 있지만 그렇게 하면 무한대는 0으로 옵니다. (1/x)+1로 하면 1로 오고... 변환의 중심에 의해서 무한대는 어떤 점으로든 올 수 있습니다. 맑은님 말씀처럼 아무 점이나 무한대가 될 수 있지만 그것은 변환이 되었을 때만이라는 조건이 붙습니다. 그리고 수학자들은 무한대를 피하기 위해서 "바늘구멍이 뚫린" 원이나 구를 사용하기도 합니다. --PuzzletChung

수직선의 양축을 영에서 반시계방향으로 회전하면서 일대일대응시키고 수직선의 음축을 영에서 시계방향으로 대승시키면 원과 수직선을 일대일대응시킬수 있겠죠. 다른 방법으로는 (-1,1)이 실수(수직선)과 일대일 대응임을 보이고 우리가 잘 아는 Exp(pi*jt)를 쓰면 원하는 대응을 찾을 수 있습니다. 여기서 무한대는 바로 원에서의 한 점임을 바로 알 수 있습니다. 그리고 구가 주어지면 구의 남극을 평면의 원점과 일치시킨후 구의 북극에서 평면으로의 공간직선을 생각하면 우리는 평면의 임의의 점과 구위의 임의의 점이 대응됨을 알 수 있습니다. 그리고 무한대는 북극으로 대응됨을 알 수 있지요. 즉 복소평면에서 무한대는 한점입니다.---Echo

일상 생활에 과연 무한한 것이란 존재할까요? --아무개

욕심^^; 죽음이라는 범위때문에 어쩌면 일상 생활에 대해서는 무한이라는 것이 좀 애매한것 같기는 하네요. --Myhong

엄밀한 수학적인 무한에 대한 정의는 칸토어의 Set Theory에서 이루어졌습니다. 간략히 설명하자면, Undefined Notion인 Class와 Class Relation으로서 Inclusion으로 부터, 일반적으로 생각하는 자연수의 집합 N을 정의 할 수 있습니다. 이 Set N과 어떤 임의의 Set을 하나 두고, 이들 사이에 Bij Function을 정의 할 수 있다면, 그 임의의 집합은 Infinite Set이 되는 것입니다. 즉, 자연수 집합의 전체 원소의 갯수부터가 무한대이고(이 관계를 Denumerable이라고 합니다.), 물론 자연수를 포함하는 Set은 모두 Infinite Set입니다. --무하유지향

제가 생각하는 무한대는 수가 아닌 커지는 상태입니다. 물론 제 생각이 옳다고는 절대로 말할 수 없지만, 무한대를 수로 생각하면 때때로 문제가 되는 것 같습니다. 예를 들면, '하나의 무한대와 다른 무한대 중 어떤 것이 클까?'같은 문제라든지, '함수가 어떤 점에서 무한대이면 정의되지 않는가?' 등에 대한 대답이 이상해지는 것 같습니다. --flammy

'1/x = 0'이 되는 x? --naya

'무한집합의 원소의 갯수'로서의 무한과 '실수직선의 끝 혹은 1/0'으로서의 무한대는 구분되어야 합니다. 물론 양쪽의 무한대 모두 수학적으로 정의하는 데 무리가 없습니다. 첫 번째 개념은 집합론의 '집합의 크기' 즉 cardinality에 해당합니다. 자연수의 갯수보다 실수의 갯수가 많다거나 자연수와 유리수는 1:1 대응이 가능하다는 얘기들이 있지요. 두 번째 개념은 흔히 R^1 의 one-point compactification으로, 즉 직선에 한 점 {infinity}를 더하면 원이 되지요. 이를테면 평면상의 직선의 기울기를 얘기할 때 x=0 의 기울기를 infinity로 정의하는 경우와 같습니다. 이 때 직선이 x축과 이루는 각의 크기를 보면 직선의 기울기가 원 위의 점과 (정확히는 RP^1, 즉 원 위에서의 마주보는 두 점의 쌍이 되겠지만) 대응함을 알 수 있습니다. 이렇게 정의한다 해도 infinity를 숫자로 보기 힘든 이유는 연산이 자유롭지 않기 때문입니다. 흔히 극한에서의 n->inf. 에서의 infinity는 단순한 기호이고 어떤 숫자로 볼 수는 없습니다. --소녀의미소

수학에서는 0과 1사이에 있는 수의 개수는 무한대이다. 그렇다면 0과 0.1의 사이엔? 0과 0.000000000000001의 사이엔? 역시 무한대의 수가 존재한다. 이러한 이상론적 수학과 실제 물리학과의 괴리가 해를 무한대로 만드는 문제를 자주 만들곤 한다. 플랑크 식도, 파동방정식의 해도, QED도 이러한 무한대와 인류와의 싸움의 결과물이다. 양자 하나 크기만도 안한 바운스의 합을 무한번 더해 결국 무한대를 만드는 행위는 무의미했던 것이다. --musiki

x/0=무한대(정보의 폭발?) --SAG

칸토르는 무한대에 대해 연구하다가 정신이상으로 죽었다고 한다. 칸토르 자신도 자기가 만든 Set Theory 의 무한과 관련한 부분에 대해선 확신을 갖지 못했다고 한다. 현대 수학에서는 칸토르의 무한론을 정설로 받아들이고 있는데, 과연 옳은것일까? 나는 별로 믿음이 가지 않는다. 무한에 대한 비밀은 아직 아무도 풀지 못했다. --모나드

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