문제 ¶
고대 그리스에서 제기되었던 작도의 세 가지 난제. 작도를 눈금없는 자와 컴퍼스를 유한 번 움직여서 도형을 그리는 것으로 이해한다면 모두 불가능한 것으로 증명되었다.
- 원과 같은 크기의 사각형을 그리는 문제
- 주어진 정입방체의 두 배의 체적을 가진 정입방체를 그리는 문제
- 주어진 각도를 삼등분하는 문제
작도가 불가능한 결정적인 이유 ¶
1의 경우, 파이가 초월수이기 때문에 작도 불능이다.
2의 경우, 2의 세제곱근의 차수(degree)가 3이기 때문에 작도 불능이다.
3의 경우, cos 20의 차수가 3이기 때문에 작도 불능이다.
2의 경우, 2의 세제곱근의 차수(degree)가 3이기 때문에 작도 불능이다.
3의 경우, cos 20의 차수가 3이기 때문에 작도 불능이다.
대강의 설명 ¶
다음의 설명은 고등학교 수학을 아는 분들에게 증명에 대한 최소한의 '감'을 제공하기 위한 것입니다. 일단 그 조건에 해당되는 분들께서 이해 가능 정도를 피드백해주시면 감사하겠습니다. 구체적으로 이해가 되지 않는 부분도요. 삼대작도불가능문제의 증명의 뼈대는 그리 어렵지 않고, 고등학교 수학을 아는 분이라면 이해할 수 있습니다.
눈금없는 자와 컴퍼스를 유한 번 움직여서 도형을 그리는 것은 모두 유한개의 원과 직선을 만들어냅니다. 직선은 일차식이고 원은 이차식이죠. 따라서 이 조작에 의해 만들어지는 점에 대응되는 수들은 2의 거듭제곱 차수만을 가질 수 있습니다. 즉, 2의 거듭제곱 차수를 가지지 않는 모든 작도는 불가능합니다.2의 세제곱근과 cos 20의 차수가 3이라는 것은 쉽게 보일 수 있습니다. 즉,
(2의 세제곱근)^3 - 2 = 0;
1/2 = cos 60 = 4(cos 20)^3 - 3(cos 20) (3배각 공식).
다시말하면, 어떤 수의 차수란 그 수를 근으로 갖는 최소차 유리계수 다항식의 차수입니다.1/2 = cos 60 = 4(cos 20)^3 - 3(cos 20) (3배각 공식).
초월수는 그 수를 근으로 갖는 유리계수 다항식이 존재하지 않는 수를 말합니다. 어떤 수가 초월수인지 아닌지 증명하는 것은 무척 어렵습니다. 파이의 경우 그 증명은 독일의 수학자 린데만이 19세기에 했습니다. 파이가 초월수인지 아닌지 모르는 상황에서는 파이의 차수를 결정할 수 없기때문에 작도가 가능한지 불가능한지 알 수 없는 것이죠. 그 증명이 완결되는데 이천년 이상의 시간이 걸린 셈입니다.
예전에 어떤 사람이 자기가 이 문제를 풀었다고 신문 하단에 증명을 낸적이 있었습니다. 글씨가 잘아서 읽기 싫더군요.. -_-; --asiawide
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