정수론

서울대 수학과 김명환교수님의 글을 인용하여 정수론을 소개한다.

{{|정수론은 말 그대로 정수의 성질을 연구하는 학문이다. 우리가 1, 2, 3,. . . 등으로 표시되는 정수에 무슨 대단한 비밀이 숨어 있을 것 같지도 않고 혹시 있다고 해도 별 쓸모가 없을 것처럼 보일 것이다. 정수론의 연구주제는 크게 두 가지로 나눌 수 있는데, 하나는 소수(1과 자신 이외에는 약수가 없는 양의 정수)에 대한 연구이고, 다른 하나는 방정식의 정수해에 대한 연구이다. 이러한 연구를 하는 정수론이 일반인들에게 매우 추상적이고 실용성이 없는 학문이라고 느껴지는 것이 어쩌면 당연한 일인지도 모르겠다. 하지만 정수론의 많은 결과들이 수학의 다른 분야뿐만 아니라, 수학 이외의 여러 학문에 응용되어 왔으며, 특히 최근의 정수론을 이용한 암호체계의 발달은 이러한 생각이 잘못된 것임을 보여 주고 있다. 정수론을 이용한 암호체계의 연구 결과 중 일부는 군사 기밀로 분류될 정도로 유용성을 인정받고 있다. 이러한 응용 덕분에 일반인들의 정수론에 대한 이해와 기대가 늘어난 것이 사실이지만, 정수론이 차지하는 수학사적인 비중이나 학문적인 중요성은 이러한 응용성을 배제하더라도 변함이 없음을 강조하고 싶다.
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Gauss, Fermat

암호

현대의 모든 학문이 그러하듯이, 수학의 많은 분야도 서로서로 연관을 가지며, 통합적인 사고를 요구한다. 대수학 문제도 기하학적인 관점으로 볼 때 단순화 시킬 수 있으며, 방정식을 풀 때, 해석학적인 관점은 다양한 가능성을 보여준다. Gauss가 제시한 modulo의 개념은 현대대수학(Abstract Algebra)에서도 매우 중요한 부분이며, 실제로 정수론을 공부하기 위해선 대수학을 공부해야 한다.

다른 학문의 경우는 모르겠지만, 적어도 수학의 교육과정은 그 분야의 발전 과정을 역행한다. 수학의 각 분야는 과거 수학자 또는 다른 분야의 학자, 기술자의 필요성과 호기심에서 출발한다. 그렇기에 그 출발점은 극히 구체적이며 현실적이고 실용적이다. 하지만, 연구를 거듭해 감에 따라 학문은 추상화된다. 이렇게 추상화된 개념은 그 분야를 설명하는 도구가 되며, 새로 공부를 시작하는 학생들은 추상적인 개념의 이해를 시작으로 학문을 배우게 된다. 때문에, 전체를 보게 되면 단순한 개념들이 어렵고 힘들게 다가올 수 있으며, 수학적 역사와 배경 그리고 각각의 정리(Theorem)을 외우는데 집착하지 않고, 전체적인 개념을 명확히 하는 것이 중요하다.

수학과 학부과정에서 정수론을 배우기 위해서는 현대대수학이 선수과목이다. 현대대수학에서 modulo개념과 Group - Ring - Field의 개념을 배우고 난 후에 정수론을 배우게 된다.

포항공대 수학과에서 다년간 학부과정 현대대수학의 Text로 사용된 책은 A First Course in Abstract Algebra - John B. Fraleigh이었으며, 정수론의 경우 A Concise Introduction to the theory of numbers - Alan Baker를 부교재로 노트필기를 중심으로 강의를 진행하였다.

이번학기에 보안론을 수강하면서 정수론이 컴퓨터 과학에서 얼마나 중요한지 새롭게 깨닫고 있습니다. elliptic curve 처럼, 비유클리드 기하학이 현실속에서 이용되고 있다는 사실에 놀라고. 흥미는 느껴지는데, 너무 어려워요. 공대이다보니 교수님도 이용은 해도, 남에게 이해시킬 수 있지는 못한 듯.

SeeAlso 수학사랑 FAQ - 정수론.

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