Wavelet

먼저 신호를 분석하는 가장 일반적인 기법인 Fourier Transform은 시간의 함수로 나타난 값을 주파수의 함수로 바꾸어주는 기술이다. 즉 시간에 따라 변화하는 신호를 주파수가 다른 여러개의 사인파가 중첩된 것으로 보고 각각의 사인파의 크기를 구하는 방법이다. 이 방법은 주파수가 다른 여러개의 사인파가 섞이는 전기신호를 분석하는데 특히 유용하며 신호 중에서 우리가 원하지 않는 주파수의 신호만 제거해서 노이즈를 줄이는데 사용된다.

Wavelet은 좀 더 발전된 형태의 FT라고 할 수 있다. 무한히 반복되는 사인파를 기본파형으로 이용하여 주파수만을 변화시키며 상관관계를 밝히는 FT에 비해 Wavelet은 한 파장의 파형(사인파일 수도 있고 아닐 수도 있다)을 기본파형으로 하여 그 크기와 위치를 변화시켜가며 상관관계를 밝히는 기술이다. 여기서 크기를 변화시키는 것은 FT의 주파수 변화와 같은 개념이라고 볼 수 있으며 위치를 변화시키는 것은 Wavelet만의 독특한 방법이다.

FT의 경우 무한히 반복되는 사인파가 기본파형이므로 주파수의 함수로 바꾸었을 때 시간 정보가 사라진다는 단점이 있다. 즉, 어떤 주파수의 성분이 많은지는 알 수 있지만 그 성분이 시간적으로 어떤 위치에서 많이 나타나는 지는 알 수 없다. 하지만 Wavelet은 한 파장의 파형을 크기와 함께 위치도 변화시키므로 주파수 정보와 함께 시간의 정보도 알 수 있다는 장점이 있다. 하나의 신호를 FT로 분석하면 주파수 축과 값(amplitude)축의 2차원 그래프로 나타내어지지만 Wavelet으로 분석하면 크기(scale)축과 위치(translation)축 그리고 값(amplitude)축의 3차원 그래프로 나타내어진다.

또한 FT는 사인파만을 기본파형으로 하는 반면에 Wavelet은 수학적으로 증명된 임의의 파형을 기본파형으로 사용할 수 있다. 따라서 분석하려는 신호에 적합한 파형을 기본파형으로 사용할 경우에는 분석의 정확도가 높아지지만 파형을 선택하는 과정에서 분석자의 의지가 개입한다는 측면이 단점으로 작용하기도 한다.

이러한 Wavelet은 신호의 분석을 통한 잡음제거나 신호압축에 주로 사용된다. 예를 들면 심장의 박동이나 뇌파와 같이 사인파형과 전혀 다른 파형이거나 국부적인 신호의 위치가 분석에 중요한 영향을 미치는 신호의 분석에도 사용되며 날씨 분석, 음성이나 영상의 압축등의 폭 넓은 분야에 사용된다. -- 남용운

1984년 Smith와 Barnwell은 Tree -Structure Subband coding thoery를 86년 Esteban 은 Pyramid Algorithm을 소개하게 되는데 이는 신호처리에서 이루어진 중요한 결과였다. 80년대 말 Morlet이 지진파연구에 "Wavelet"이란 용어를 처음쓰기 시작했으며 이를 계기로 수학자 A.P.Calderon이 만들어낸 Automic Decomposition 이라는 개념의 구체적인 예를 수학자들이 인식하게 되었다. 그 이후 Y.Meyer 와 R.Coifman에 의해 Wavelet은 수학적으로 심도있게 연구되기 시작했으며 1988년과 1989년에 S.Mallat 이 MRA(Multiresolution Approximation)란 개념과 더불어 신호에 대한 Wavelet representation을 소개하고 I.Daubechies가 Compactly Supported Orthonormal Wavelet의 Construction에 성공함으로써 신호처리에 Wavelet이 실용적으로 쓰여지게 되는 결정적 계기가 된다.또한 Daubechies는 Esteban의 Pyramid Algorithm에서 아이디어를 얻어 wavelet을 얻어내는 Algorithm(Graphical Methods)을 제시하게 되는데 이를 계기로 M. Vetterli는 80년대 후반 QMF-QudratureMirrorFilterBanks 와 Subband Structure를 통해 MRA와 DWT-DiscreteWaveletTransform 를 설명함으로써 Wevelet은 Data compression과 Noisy Detection에 활발히 응용되게 되었다. ---Echo

수학적으로 Wavelet을 활발히 응용하는 분야로는 편비분 방정식의 해를 연구하는 수치해석분야와 근사이론을 다루는 수치해석분야가 대표적이다. 수학적으로 Wavelet은 현재 기하적인 방향으로 발전하고 있다. Sweldens가 95년경에 Fourier Methods에 기반하지 않는 제 2세대 Wavelet을 구축하는 방법을 개발한 이후 유한경계에서 응용가능한 Wavelet과 Singuralities를 포함한 곡면을 Wavelet을 이용하여 분석하는 연구가 활발히 진행되고 있다.---Echo

기존의 Wavelet 구축방법은 푸리에 변환에 의존하였기 때문에 이미지를 처리하는데 있어 이미지의 경계를 다루는데 현실적인 제약을 가지게 됩니다. 자세한 것은 Image Processing의 책들을 참고하시기 바랍니다. 또한 기하적으로 불규칙하게 생긴 부분들을 특별히 처리하기 위하여 수학자들은 Wavelet의 아이디어를 도입하였는데 이는 기하학에서의 많은 문제들과 연관되어 있습니다.---Echo

크게 두가지 응용을 들 수 있겠다. 우선은 Data-compression으로써 Wavelet 알고리즘을 이용한 Coding 기법(EZW)그리고 Wavelet-Shrinkage를 이용한 잡음제거 알고리즘이다. 각각은 Shapiro와 Donoho에 의해 제안되어져서 현재 표준으로 쓰여지고 있다.--Echo

단순한 DCT에 비해서 많은 정보와 순차적인 면을 포함할 수 있기 때문에, JPEG와 같은 압축과정을 따를 때 더 좋은 결과를 얻을 수도 있고, 영상에서 edge 검출에도 사용될 수 있겠습니다. 결과적으로는 지금 FT가 사용되는 대부분에 적용가능하며 더 나은 품질을 (더 많은 계산을)얻을 수 있을 것 같습니다 (세부전공이 아니라 자세히는 -_-) --Gravi

• Wavelet Digest http://www.wavelet.org : Wavelet에 대한 Paper 및 세미나, S/W 등의 정보 제공
  
• The Wavelet Tutorial http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html
  
• http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelet
  

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