TV퀴즈프로에서 세 개의 문을 제시하고, 하나의 문 뒤에는 포르쉐가 준비되어 있고, 나머지 문 뒤에는 아무것도 없습니다. 출연자가 문을 선택하여 열게 되면, 그 문 뒤의 것을 갖는 것입니다. 포르쉐를 선택할 수도 있고, 꽝이 될 수도 있습니다.
이때 출연자가 문을 하나 선택하게 되면, 진행자가 나머지 두 개의 문 중 하나를 열어서 아무것도 없음을 보여줍니다. 닫힌 문 둘 중 하나에 포르쉐가 놓인 것이죠. 출연자는 선택을 바꿀 기회가 한번 주어지는데, 처음 선택한 문을 열 것인지, 또다른 닫힌 문으로 선택을 바꿀 것인지 결정할 수 있습니다.
어떤 선택을 해야 포르쉐를 당첨받을 확률이 높아질까요?
일단 답부터 이야기하면, 선택한 문을 바꾸어야 당첨 확률이 높아집니다. --Aragorn
베이즈정리로 풀 수도 있지만 생각을 조금만 바꾸면 아주 쉽게도 풀 수 있습니다. 근데 문제가 조금 잘못된 것 같습니다. 처음에 아무것도 없는 문을 선택하면 어떻게 되죠? --지원
베이즈정리를 사용하지 않고 풀어보면, 일단 답은 바꾸는 경우 당첨확률 2/3, 바꾸지 않는 경우 확률 1/3입니다. 당첨될 확률은 바꾸는 경우에는 처음에 아무것도 없는 문을 선택하면 되므로 2/3이고, 바꾸지 않는 경우에는 처음에 포르쉐가 있는 문을 선택해야 하므로 1/3입니다. 사실 저도 이 문제를 보고 조건부 확률로 생각하고 있는데 옆에서 동생이 한심하다는 듯이 쳐다보더니, 설명 해 주더군요. (그렇다고 이 문제를 조건부 확률로 푸는게 한심하다는 것은 절대 아님! 아앗. 문제에 문제가 있었군요. 원래 문제는 분명히 염소와 포르쉐였는데. 그렇담, 염소를 없애버리겠습니다. -_-;;;; 염소가 개입되면 초기조건의 확률이 이리저리 달라지겠습니다. 염소라도 있어야 아예 포르쉐 못 받으면 염소라도 갖는 건데. 으음...
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) --지원조건부확률에 대한 명확한 개념이 없으면, 진행자가 문을 열었을 때, 문제의 조건이 바뀌어 1/2 확률 문제로 바뀐다고 생각하기 쉽습니다. Aragorn 또한 처음엔 그렇게 생각했었습니다. 답을 알고 그에 맞는 논리를 외우는 것은 어렵지 않은데, 직관적인 이해를 제대로 하기는 쉽지 않더군요. 여전히 잘 모릅니다.
원래 문제는 염소 두마리와 포르쉐 하나군요. 염소를 고르면 꽝입니다. 그런데, 여전히 이해를 못하겠군요. 계속 머리 싸매고 있습니다. ㅠ.ㅠ![[http]](/ns/imgs/http.png)
몬티홀 문제 --구글만세
원래 문제는 염소 두마리와 포르쉐 하나군요. 염소를 고르면 꽝입니다. 그런데, 여전히 이해를 못하겠군요. 계속 머리 싸매고 있습니다. ㅠ.ㅠ
몬티홀 문제 --구글만세음 드디어 깨달음을.. 이건 퀴즈프로의 진행방식에서 따온 문제군요. 그러니까, 참가자가 문을 하나 고르면, 몬티가 무조건 다른 문을 하나 열어서 보여주고, 다시 선택을 바꿀 기회를 줘야만 하게 되어 있는겁니다 (프로 진행 규칙). 몬티는 어떤 문에 포르쉐가 있는지 아니까, 절대로 그 문을 열리는 없습니다. 따라서, 몬티가 숨기고 있는 제 3의 문이 약간 확률이 높아지는 것이 당연하군요. (음 정말인가? 아리송 ㅠ.ㅠ) --구글미워
고등학교때 학교 경시대회에 나왔던 문제군요..그땐 조건부 확률로 풀지 않아서 아마도 점수를 덜 받았던 것 같은데...이 문제의 핵심은 바꾸는 경우에는 자신이 선택하지 않은 두개의 문중 하나에 포르쉐가 존재할 경우 무조건 포르쉐를 받게 된다는 겁니다. 또 달리 생각하면 문 선택을 바꾸면 자신이 처음에 포르쉐가 있는 문을 선택했을 때만 포르쉐를 못 받게 된다는 거죠...이 문제를 나중에 다시 조건부 확률로 푸는 방법을 배웠는데 이 문제를 조건부 확률로 푸는 이유는 문제를 용이하게 풀기 위해서라기 보다는 베이즈 정리를 좀 더 잘 이해하기 위해서라는 느낌을 받았습니다. P(Y) = P(Y|X)P(X) + P(Y|not X)P(not X)이부분을 말이죠.--JongHoon 네. 맞습니다. 이 문제는 우리수학자모두는약간미친겁니다에도 나오는 "몬티홀 딜레마"라 불리우는 문제입니다. TV 프로그램 진행 방식이죠. 진행자는 절대 포르쉐가 있는 문을 안 열기 때문에, 처음 골랐던 문을 바꾸면, 2/3 의 확률로 포르쉐를 얻게 되고, 처음 골랐던 문을 고집하면 1/3 의 확률이 되죠. 만약 누군가가 진행자가 하나의 문을 연 다음에 와서 2개의 문 중에서 고르게 된다면 당연히 진행자가 주는 힌트의 도움을 못 얻어서 1/2 확률이 됩니다. 위 책에 보시면 여기에 얽힌 재미있는 얘기들이 더 많이 나옵니다. 
몬티홀 문제는 대부분의 일반인용 확률/통계 교양서("생활 속의 확률", "헷갈리는 확률" 비슷한 서명들)에 나오는 것 같습니다. 오늘 서점에서 잠깐 훑어 봤는데, 대다수의 책들에 이 문제 해설이 있더군요. (제가 직접 읽어보진 않았지만) 자세한 설명은 그런 책들을 참고하면 되지 않을까 합니다. 그리고, 일견 우리의 직관을 위배하는 듯한 느낌은 이렇게 해보면 쉽게 해소되지 않을까 합니다. 문을 바꾸지 않는 경우를 갑이라고 하고, 문을 바꾸는 경우를 을이라고 했을 때 각각의 경우로 직접 확률 실험을 해봅니다. 하다 보면 느낌이 올겁니다. 예를 들어, 문 세 개에 자동차, 염소, 염소를 미리 배정해 놓고 각각 1,2,3번을 줍니다. 그리고 여섯눈 주사위를 던져서 나온 값을 3으로 나눈 나머지에 일을 더한 값을 갑과 을이 최초 선택하는 문 번호로 합니다. 그리고 을의 경우 최초 선택한 문 외에 염소가 있는 문을 제하고 다른 문으로 선택을 바꾸게 합니다. 그렇게 해서 갑과 을 각각의 경우에서 (자동차를 찾은 회수)/(전체 시도 회수)를 계산해 봅니다. 그러면 각각 1/3과 2/3로 점점 접근하게 됩니다. 이 정도로 해볼 필요가 없다고 생각되시면 그냥 깨끗한 종이에 "모든 경우의 수"를 직접 그려보세요. 그러면 (자동차 찾은 경우의 수)/(전체 경우의 수) 값이 1/3, 2/3가 됩니다. --김창준
모든 경우의 수를 한번 적어봤습니다. A문에 자동차, B와 C문에 염소가 있다고 했을 때, 게스트가 선택한 문을 바꿀지, 고수할지를 결정하기 직전까지 벌어질 수 있는 사건의 모든 경우는
이렇게 4가지가 되지 않나요? 그럼 위 두 경우는 선택을 바꾸지 않았을때 자동차를 찾게되고 아래 두 경우는 선택을 바꿨을 때 자동차를 찾게 되니까, 선택을 바꾸거나 바꾸지 않건 자동차를 찾을 확률은 1/2이 되는게 아닐까요?
근데 분명히 위 설명은 틀렸습니다.-_-;; 프로그램을 돌려보니 1/3, 2/3이 나오더군요. 그럼에도 위 설명의 오류가 시원하게 파악되진 않네요. --sushy
| 게스트의 선택 | 사회자가 확인시켜준 문 | |
| A | B | |
| A | C | |
| B | C | |
| C | B | |
근데 분명히 위 설명은 틀렸습니다.-_-;; 프로그램을 돌려보니 1/3, 2/3이 나오더군요. 그럼에도 위 설명의 오류가 시원하게 파악되진 않네요. --sushy
A,B 와 A,C는 동일한 경우라 생각해야 합니다. 사회자가 B를 여는 것과 C를 여는 것은 동일한 사건으로 여길 수 있기 때문입니다. "생각의 방법"을 바꾸면 간단합니다. 무조건 바꾸지 않는 경우는 3개의 문중에 자동차가 있는 문을 골라야 하고, 무조건 바꾸는 경우는 3개의 문 중에 자동차가 없는 문을 고르면 됩니다. --지원
모든 경우의 수는 세가지입니다. 게스트가 A를 고르는 경우, B를 고르는 경우, C를 고르는 경우. 만약 게스트가 원래 선택을 고수하는 사람이라면, A경우 -> 상금. B, C 경우 -> 꽝. 따라서 상금 탈 경우는 총 세가지 경우 중 하나이므로 상금 탈 확률은 1/3입니다. 만약 게스트가 선택을 바꾸는 사람이라면, A경우 -> 꽝. B, C 경우 -> 상금. 따라서, 상금 탈 경우는 총 세가지 경우 중 둘이므로 상금 탈 확률은 2/3입니다.
경우의 수로 확률을 계산하려면 각 "경우"가 나올 확률이 동일해야 합니다. 예를 들어 주사위를 굴린다고 했을 때, 1이 나오되 다른 사람 몸에 맞고 1이 나올 경우, 몸에 맞지 않고 1이 나올 경우, 2가 나올 경우, 3이 나올 경우, 4가 나올 경우, ... 이런 식으로 하면 2가 나올 확률은 전체 일곱가지 경우 중 하나이므로 1/7이 되어 버립니다. 여기서는 각 경우를 균등하게 나누지 못한 것이므로 각각의 "무게"가 다르다고 볼 수 있고, 결국 다른 경우와 같은 한가지 경우로 더할 수 없습니다.
gerecter는 이렇게 설명하곤 합니다. 찍기 문제를 하고 있습니다. 한 가지 방법은 그냥 찍는 거고, 다른 한 가지 방법은 누군가 "확실히 틀린 보기"를 가르쳐 줄 때 그 이야기를 듣고 찍는 겁니다. 둘 중에 누가 더 문제를 많이 맞출지는 자명합니다. 즉, 이 문제에서 이 사회자는 오답을 검색해주는 정보를 제공해서, 보기를 제거해 주는 것입니다. 이 정보를 제공 받아서, 확실히 틀린 답들을 피하고 나면, 확률은 더 높아집니다. 이 때, 자기 스스로 답을 바꿀 기회가 있다는 측면에서, 가르쳐 주는 시점의 문제는 무시할 수 있습니다.
구체적으로 1백개의 문이 있고, 단 하나의 문 뒤에만 차가 있다고 해 봅시다. 처음 자기가 문을 고르고 버티는 사람이 있습니다. 그런데 어떤 사람은, 처음 문을 골랐다가, 사회자가 98개의 "꽝"을 쭈욱 다 가르쳐 주고 나면, 자기가 고른 것과 나머지 하나 중에, 무조건 나머지 하나를 고릅니다. 왜냐하면, 자기가 고른 것은 그냥 고른거지만, 나머지 하나는 사회자가 98개를 제거한 끝에 "찾아 준 것"이니까요. 이 경우에 뒷 사람이 훨씬 똑똑한 것이지요.
그렇다면 이 문제가 왜 그렇게 헷갈리느냐. 그것은, 3개의 문 중에 하나를 제거해 주는 것이, 상당히 많은 정보를 주는 행동이므로, 남은 문 하나가 아주 귀중한 문임에도 불구하고, 기분 상으로, 내가 고른 문, 사회자가 연 문, 남은 문 하나 라는 똑 같은 "문 한 개, 한 개, 한 개"에다가, 더군다나 "단 한 번의 기회"라는 것 때문에 좀 "만만하게 느껴지기" 때문입니다. 수학은 이런 상황에서 기분에 휩싸여 착각하는 우리를, 엄밀한 논리로, 구제해 줄 수 있습니다.