수학은과학인가

FrontPage|FindPage|TitleIndex|RecentChanges| UserPreferences P RSS
수학이란 무엇인가? 수학이 과학이 아니라고 말하기는 힘들지만, 1. 실험에 의존하지 않고 2. 논리에 의한 완벽한 증명이 요구되고 가능하다는 점에서 보통의 자연과학과 똑같다고 말하기도 힘들다. 학문 일반 속에서 수학이 차지하는 위치는 무엇인가?



1. 수학은 과학이다

  • [http]On Teaching Mathematics : 수학은 물리학의 한 분과이며, 현대 수학의 공리주의적 연구, 교육이 수학을 망치고 있다고 주장하는 글.

수학이 과학이냐 아니냐에 대한 주장들은 언제나 "과학"의 정의가 무엇이냐에 따라 다르겠습니다만, 극단적으로 뒤집어 보면 수학만이 과학이죠. :)
과학은 수학적인 경우에만 진정한 과학이다.-- 칸트
수학은 자연과학이 취하는 관찰-가설-실험-검증-이론정립의 구조를 가지고 있습니다. 관찰은 사실상 수학자가 관심있어 하는 대상물에 대한 여러가지 사실들을 고찰하는 과정과 동등하다고 볼 수 있으며 그 동안 연구되어진 결과물들을 살펴봄으로써 나름의 정리를 예측하게 됩니다. 이는 바로 가설의 설정과 같은 과정입니다. 이제 실험은 바로 증명의 과정과 평행한 과정이 됩니다. 증명이 완결되면 예측된 가설(Conjecture)은 정리가 됩니다. 이는 다시 새로운 결과를 향한 징검다리가 됩니다. 공학자들과 자연과학자들이 관심을 가지는 문제는 수학자들 역시 관심을 기울일 수 있는 문제가 많습니다. 과학을 철학적 지평에서 바라보기 보다는 현실적인 문제해결의 지평에서 바라본다면- 즉 생명과학과 같은 분야에서 제기되는 중요한 문제들을 해결하기 위한 과학의 내용들을 바라본다면- 수학도 다른 자연과학과의 상호작용속에서 보다 잘 파악되어지는 측면이 있다는 것을 알 수 있습니다. --Echo

2. 수학은 과학이 아니다

가설과 검증, 패러다임 등의 과학적 특징이 수학에서는 나타나지 않는다. (물론 정리와 증명이라는 절차를 가설/검증으로 비유할 수는 있겠지만.) 지동설, 상대성이론, 양자이론, 진화론 등과 유클리드의 호제법, 페르마의 정리 등과 같은 선에 놓을 수는 없겠죠. 수학은 과학만큼 불완전하지 않으니 과학이 아닙니다. B)

유클리드의 호제법이 지동설보다는 우월하겠습니다만 :) 수학자의 머릿속을 들여다 보면 가설과 검증이라는 과학적 특징이 확연히 작동하고 있습니다. "가설=정리"라기보다는 "가설=(수학적)아이디어"죠. 그걸 검토하는 과정은 다른 과학의 실험과 별로 다를 바가 없습니다. 사실 실험의 본질적 성질을 생각하면 당연한 일이기도 합니다. 그리고 패러다임 이론은 적어도 수학사에서는 제법 잘 들어맞는 설명 방법입니다. 패러다임은 과학의 불완전성보다는 인식의 불완전성에 대한 것이지 않겠습니까? 코페르니쿠스가 나오기 전이라고 해서 태양이 지구 주위를 돌던 것은 아니니까요.

다른 학문분야에서도 과학적 방법론을 사용한다 해서 과학이라고 말하기 때문에, 더 한정적으로 자연과학은 그 대상이 자연을 설명하려는 노력이라고 볼때, 수학은 과학일지는 몰라도 자연과학은 아닙니다. --ohdh2003

제 의견이라기 보다도,, 화장실에서 볼 책이 없길래 ㅡㅡ; 너무나도 오랜 만에 Lecture's on Physics를 들고 들어갔는데, 거기 이렇게 되어 있더군요. "Mathmatics is not a science in this view, 'cause it can't be testified by experiment".. ㅡ.ㅡ; 기억해서 쓴 거라 정확한 문장인지는 모르겠습니다. 어쨌거나 요는 그 책에서는 과학이란 실험에 의해 검증되는 것이라고 정의하는 것 같더군요. 자연과학은 물론 사회과학까지도 포함하는 광범위한 '과학'의 정의인 것 같습니다. 제 생각에도, Feynman의 생각이 옳은 것 같군요. --naya
제목은 기억이 안 나지만 폴 휴이트 책에서도 그러는데... 그것이 일반인들이 과학과 수학을 분리해서 생각하는 이유이기도 하죠. (주장 無.) --PuzzletChung

Q : "학문으로서의 수학은 논리학이다. 수단으로서의 수학은 언어이다." 라고 알고 있었는데, 맞나요? (단순무식과격) --맑은 (음, 근데 질문해 놓고 와이리 떨리노)

수학을 순수학문이라고 하고 있는데, 수학 중에서도 가장 밑바닥의 기반은 논리학이라고 할 수 있습니다. 그리고 수학은 "과학을 하기위한 언어"라는 말이 있으니까, 수학이 언어라는 수단이라는 말도 맞는 것 같습니다. --PuzzletChung

으음.. 수학의 학문적 본질이 논리학인 것은 아닙니다. 수학을 논리학으로 생각하면 '도대체 수학(과)에서는 뭘 하나'라는 의문이 생길 수 밖에 없죠. 지금도 수학이 존재하는 이유는 아직까지 풀리지 않은 문제, 알지 못하는 사실들이 무진장하게 널려있기 때문입니다. 마치 '발견'을 기다리는 '과학적 사실'들처럼요. 논리학은 그보다는 학문 전체의 기초라고 할 수 있을 것입니다. --Khakii

Q : 그렇다면 "논리학은 과학인가요?" --맑은

누가 봐도 논리학은 과학에 포함될 것 같네요. 근데 이 문제는 접근을 달리 해야 할까요. 과학을 도전하는 것이고, 쟁취하는 것이라고 생각한다면 논리학은 그런 것하고는 거리가 먼 것 같네요. --PuzzletChung

3. 수학은 과학의 언어다.

다들 아는 얘기 아닌가요? 수학은 과학의 상위에 있는 학문인데,, 과학과 동일선상에 둔 것 자체가 문제가 있다고 생각합니다. 제가 수학자는 아니지만, 수학이란 언어의 완벽함에 항상 매료되니까요. 과학을 기술함에있어 수학이 없었다면, 대체 어떤 언어가 그것을 대신할 수 있었을지 의문입니다.
그리고 그런 수학을 대상으로 연구를 한다고 하는 것은 이 세상에서 가장 순수한 언어를 연구하는 것이고, 언어학이 과학이듯이 수학도 과학이라고 할 수 있을 것입니다. --naya

4. 수학교육의 문제

개인적인 경험에 불과한 것이긴 하지만, Aragorn은 중고등학교 과정에서 정규 수학교과 과정보다 앞서 물리학을 교육받았습니다. 미적분, 복소수, 행렬, 벡터, 미분방정식 등의 내용을 물리학을 통해 교육받은 후 다시 수학교과 과정에서 다시 교육받은 경우에 해당합니다. 학부과정에서는 따로 수학과목을 특별히 수강하지 않았는데, 물리학과의 특성상 가능한 것이기도 합니다. 물리학을 통해 수학을 배우는 경우에는 수식의 직관적 의미를 이해하는데 유리하고 그것을 응용하는데 있어서 익숙하다는 장점이 있습니다.
물리학과에서 대수학은 어떻게 배우나요? group theory라던지.. 그러고보니 물리학과 학부수준에서 사용되는 대수가 어떤 것인지도 궁금하네요.
대수학을 물리과 학부에선 배우지 않는것으로 압니다. 대개 물리수학 혹은 수리물리라고 개설되는 과목의 주요한(?) 목적은 거칠게 말해서 미분방정식을 어떻게 잘 푸나입니다. 대학원에 진학을 하게되면 몇몇 전공에서 대수학이 필요하고 그때 필요한 만큼(?) 배웁니다. --ohdh2003

다시 생각해보니 학부에서도 대수학을 배우긴 하는 군요. 선형대수. 근데 대수적인건 쏙 빼놓구 계산을 어떻게 하나 위주로... 그래서 그게 대수를 배웠다고 말하기 좀 그렇습니다. 그리고 양자역학 배울때 벡터공간이 어떤건지 정의만 말하고 지나가고, Algebra 인지 아닌지 모르게 (정의를 말안하기 때문에) Lie algebra를 다루고 지나갑니다.

특히 공통수학 이후의 수1, 수2 과정은 전체가 하나로 크게 묶여서 동일한 문제를 다양한 접근방법으로 풀어내는 경우가 많은데, 이러한 응용에 있어서도 행렬과 벡터, 복소수, 공간도형 등을 상황에 따라 원하는대로 변환해서 문제를 쉽게 풀어내는데 능숙해질 수 있습니다.

5. 수학은 이 세상(과학적사실)을 모델링(표현)하는데 쓰이는 수단

간단히 말하면, 수학은 언어라는 것입니다. 수학이라는 언어로 이 세상을 모델링 하는 것은 과학입니다. 솔직히 수학 자체만 가지고 즐겁다고 하면 할 말이 없지만, 수학만 존재해서 써먹을데가 없습니다. 간단히 말해 덧셈이라는 수학은 그 자체만으로 의미가 없습니다. 실생활에서 돈계산 등에 쓰지 않으면 필요 없는 것이지요. 수학적 사실만을 가지고 재미를 느끼고 즐길 수 있다면 할 말이 없지만, 그것은 수학 매니아들에게만 해당사항 같습니다. 픽하튜는 전기전자공학 학부과정입니다. 따라서 실용성에 중심을 두고 말했네요. 1학년때 미적분, 행렬, 벡터, 미분방정식, 플라스변환 등을 배웠고, 2학년때 신호및 시스템, 전자회로, 기초회로이론, 전자장 등을 배웠습니다. 1학년때 그 수학들을 배우면서(수학과 교수에게) 답답했습니다. 어디에 쓰는 거고 괜히 그러한 식을 왜 푸는지 모르기 때문입니다. 2학년때 전공 수업에서 1학년때 배운 것들이 차차 소개되자, 정말 기뻤습니다. 재미도 생겼고요.

옛날에는 물리학자들이 수학자들이었고, 즉 과학에서 사용되는 수학(미적분, 선형대수, 복소수 등)에 많은 발전이 있던 것 같습니다. 즉 이 세상을 모델링하려고 했던 사람들이 수학이라는 언어를 가지고 표현한 것이지요. 요새는 수학이라는 학문도 따로 있고, 자연과학, 공학과 연계가 안되어 있는 것도 있는 것 같습니다. 그쪽은 잘 모르겠지만 어쨌든 픽하튜는 아직도 수학은 과학적 사실을 표현하는데 쓰이는 (불완전한)수단 이라고 생각합니다.

6. 수학은 지의 예술이다

수학은 과학의 언어로서의 기능을 가지고 있으며 물론 세상을 모델링하기위한 표현수단이기도 합니다. 그러나 이것은 수학을 사용하는 사용자의 입장에서 바라본 것입니다. 수학은 자체적으로 매우 의미있는 많은 결과를 가지고 있으며 이렇게 정립된 추상적인 정리는 자체완결적인( 공리계의 뒷받침아래에서 ) 아름다운 창조물입니다. 사상의 구조물처럼 많은 자유로운 생각의 결과물들이 지난 200년을 통해 축적되어졌으며 그러한 결과물들이 어떠한 연결고리를 가지고 있음을 발견하는 것또한 수학자들이 연구하는 주제이기도 합니다. 수학자들은 여러가지 이상적인 수학적인 모델을 많이 알고 있는데 이러한 모델들을 가지고 자연과학의 제문제를 연구할 수 있으므로 (그리고 이것은 수학자들이 밥을 벌어먹는데 중요한 이슈이기도 ...) 자연과학에 포함시켜도 무방하겠지요. --Echo

7. 수학과 과학의 관계

수학이 경험적인 자연과학이라고 주장하는 소수의 수학자, 과학자, 철학자들이 있기는 하지만 대부분의 사람들은 수학이 선험적인 학문이라고, 그렇기 때문에 체계적인 경험적 지식인 "과학"과는 성격을 달리한다고 생각합니다. 하지만, 이에 대해서 "그렇다면 어떻게 과학에서 수학이 그토록 중요한 역할을 차지할 수 있는가?"라는 반문이 나오기 쉽죠. 하지만, 이 둘은 서로 다른 문제일 것 같습니다. 수학이 과연 플라톤적인 추상세계에 대한 지식인가 아니면 (J.S.Mill이 생각한 것처럼) 경험적 지식의 추상화인가의 여부와 상관없이, 수학이 왜 과학에서 그토록 유용했으며 서로 뗄 수 없는 동반자 관계가 되었는가에 대한 설명이 가능하기 때문이죠. 수학은 추상적 패턴과 그 사이의 관계를 다루는 학문이고, 이 패턴은 자연 현상(혹은 사회 현상에서도)의 곳곳에서 나타나기 때문이라고 말할 수 있을 겁니다. 예를 들어, 수학에서의 덧셈(+)은 추상적인 symbol operator에 지나지 않습니다. 자연수 구조 내에서 추출된 패턴이죠 (임의의 자연수 n 뒤에는 n+1의 형태로 구할 수 있는 후속자가 나타나니까요). 하지만, 이 추상적인 패턴이 적용될 수 있는 사례 분야가 아주 일상적인 것이기 때문에 우리는 덧셈을 자연스럽게 받아들입니다. 하지만 물 1리터와 알콜 1리터를 섞는다고 2리터가 되지는 않죠. "섞는 것"은 "덧셈"이 아니기 때문입니다. 적어도 부피의 관점에서는요. 수학은 추상적인 패턴의 문제이고, 자연과학은 경험적인 사실의 문제이기 때문에 서로 다를 수밖에 없습니다. 수학이 물리학의 일부라는 주장은, 수학 연구의 독립성을 지나치게 과소 평가한 것이 아닐까 여겨집니다. 하지만, 수학이 "패턴"을 연구하기 때문에 과학과 밀접할 수밖에 없는 건 당연한 일입니다. 물리학을 비롯한 과학적 탐구에서 발견된 모델을 적절하게 표현하기 위해 수학에서 보다 일반적인 패턴/구조를 발견해내는 일이 적지 않았죠. 운동의 적절한 모델을 만들기 위해 미적분을 만들었고, 이 미적분을 보다 "일반적인 패턴"으로 성립시키기 위해 뒤늦게 해석학이 발달했다는 점을 생각해볼 수 있을 겁니다. 하지만, 반대로 순수한 수학적 연구(추상적인 패턴의 연구)가 뒤늦게 응용 분야를 찾는 일도 적지 않았다는 건 다들 아실 거구요. "수학은 과학의 언어다"라는 건 바로 이런 의미에서라고 저는 생각하고 있습니다. --아무개

미적분을 "일반적인 패턴"으로 성립시키기 위해 해석학이 발달했다 라는 주장은 조금 어색하다고 느껴집니다. 해석학은 사실상 미분과 적분이란 개념의 확장을 정립하면서 발달했다라고 하는게 타당합니다. 미적분학 정리는 어떤 패턴을 의식해서 탄생되어진 것 또한 아닙니다. 속도, 운동량, 에너지량 같은 것들을 실질적으로 계산하기 위하여 발견되어진것이라고 보는 것이 더 적절합니다. 해석학에서 어떤 패턴의 연구를 하지 않는 것은 아니지만 대개의 해석학에서 이루어지는 위대한 성과들은 모호한 개념의 정립을 통한 여러가지 계산의 타당성을 제공하는 데서 이루어진것들도 많습니다. 미적분학의 기본정리는 Duality라고 하는 개념의 초보적인 예일뿐만 아니라 함수의 적분을 계산하기 위한 실질적 도구이기도 합니다. 기실 해석학의 많은 중요한 정리들은 어떤 중요한 개념의 중요한 예를 제공함과 동시에 대부분 잘 모르는 함수들의 계산을 위한 중요한 내용을 포함하고 있습니다.(EX Lesbegue's Integration Theory, Laurant Schwarz's Distribution Theory 등등) 많은 분들이 수학에 대하여 피상적 오해를 하고 있는 것 같습니다만 사실 수학에서 가장 중요하고 실질적인 일들은 계산입니다. 어떤 수학적 성과들을 얻어내기 위해서 수학자들은 여러가지 계산을 합니다. 그러한 가운데 중요한 양들(Quantities)이 나오게 되고 그러한 을 해석하는 일을 여러분야의 자연과학자들이 공유합니다. "수학이 과학의 언어다" 라고 하는 명제는 사실 실제로 수학에서 일어나는 일들에 대한 고찰이 동반되지 않고 수학을 논리적인 기호라는 관점에서 풀어서 얻어진 것이라고 보면 맞습니다. 위의 글 가운데 픽하튜님께서 실생활의 덧셈을 예로 들면서 "수학자체만으로 써먹을데가 없다"는 위험천만한(?)발언을 하셨는데 이는 사실 실제로 수학이란 영역에서 연구를 행하고 있는 많은 과학자들을 무시하는 발언인 셈입니다. 수학자들은 다른 과학자들이 상상해내지 못하는 방법으로 여타의 자연과학에서 제기된 문제들에 대한 답을 제공하고 있습니다. 이러한 예를 제시하기는 어렵지 않지만 너무나 전문적인 이야기들이라 풀어서 말씀드리기가 어렵네요..위에서 수학에 대하여 말씀을 하신 분들 모두 자신이 하고 있는 학문의 깊이를 심화시키면서 가장 어려운 문제들에 접근하게 될 때 다시금 수학이 가지고 있는 놀라운 문제해결력에 경이를 표할 때가 오기를 기대해봅니다. 그리고 늘 수학자들이 가지고 있는 불만은 물리학자들이 옛날에는 수학자였다라고 하는 그런 말들입니다. 사실 수학자들이 물리학도 연구한 것이지요 ^^ --Echo

수학자들이 물리학을 연구했다기보다는 뉴턴이라는 인류 최초의 물리학자가 자연철학에 수학을 접목시킨 것이죠. 물리학의 시초는 바로 자연철학과 수학의 접목입니다. --musiki

그렇지만, 자연철학 역시 물리학 부분과와 수학 부분은 잘 연결되어 있었습니다. 그것이야 말로, 고대 그리스 과학/자연철학이 중국, 메소포타미아와 구분되는 전통이 아니었겠습니까? 또한 대수와 기하를 연결시켜서 물리학으로 활용까지 시도했던 사람들은 아마도 해석기하학의 창시자들일 것입니다. 뉴턴은 미적분학을 만들고 만유인력의 원리를 도입하여, 일반적인 주변 사물의 운동과 당시로는 전혀 별개의 것으로 생각했던 우주 천체의 움직임을 단 하나의 우주 법칙으로 표현했다는 데 그 공이 있을 것입니다. --gerecter

왕이라 불리우는 가우스의 공적을 필두로, 앙리 푸앙카레, 조지 스톡스 등등 수많은 수학자들을 살펴 볼 때, 그들이 직접적으로 과학을 발전 시킨 공로를 결코 폄하할 수 없을 것입니다. 그런데 gerecter는 과학과 수학에 어떤 근본적이고 근원적인 차이가 있어서, 성격적으로 학문이 분화되었다고 생각하지 않습니다. 오히려, 19세기 이후 뚜렷하게 나타나는 과학과 순수 수학의 분리는 그 학자들의 성격과 취향의 차이로 보입니다.

스톡스 정리에 대해 어떤 사람들은 그 정리를 보다 엄밀히 정리하여 증명하거나, 다른 대수 체계, 다른 공간에서 표현해보는 미적인 활동을 멋있다고 생각했을 것입니다. 그에 비해 다른 사람들은 스톡스 정리가 표현할 수 있는 많은 눈에 보이는 현상들을 찾아보거나, 이런 현상들의 다른 성질들을 추측해 볼 때, 그런 여러가지 성질들을 표현해 내는 스톡스 정리와 관계 있는 다른 방법을 모색해 보려고 했을 겁니다. 전자를 좋아했던 사람들이 점점 서로서로 이야기하고 모여들면서 근대 수학자들이라고 스스로를 일컫게 되었고, 후자를 좋아했던 사람들이 굴러가서 근대 과학자들이라고 스스로 일컫게 되면서 분리되었다는 느낌입니다.

근원이 그렇다하더라도, 앞서 말씀하신 분들처럼 현대에서 수학은 문학적 미학과 방법론의 예술성을 추구하는 추상적인 학문입니다. 그리고 과학은 어떠한 수학적 표현이나 원리가 없어도, 단지 자연에 대한 인간의 객관적이고 이성적인 관찰만으로도 성립될 수 있는 학문입니다. 철새 관찰이나, 침팬치의 생태를 연구하는 태도를 예로 들겠습니다. gerecter는 두 학문의 발전 방향이나 성격이 이처럼 다르게 성립되어 있다고 생각하고 있지만, 여전히 연구하는 학자의 입장에서 한쪽만을 추구할 필요는 없다고 봅니다.

양쪽의 발전 양상이 서로에게 도움을 주는 이상, 추상적으로 두 학문이 구분되어 있을지언정, 굳이 거기에 학자가 자신을 맞출 필요는 없을 겁니다. 그러한 구분은 대학 입시를 위해 학과를 나누는 행정실무자들에게는 엄청나게 중요하긴 할 겁니다. 하지만, "나는 과학자다", "나는 수학자라서 과학하는 사람들하고는 생각하는 것이 다르다"와 같은 태도를 강하게 취하기 보다는, 자연스럽게 흥미와 관심을 갖고 양쪽을 이리저리 찔러보며 탐구할 때, 정말로 자기가 재미있어 하고, 소중히 여기는 것을 잘 찾아갈 수 있을 것입니다. 또한 각각의 학문의 발전에도 도움이 된다고 생각합니다.

8. 왕과학자

gerecter가 학부생들에게 가끔 하는 이야기 중에 왕과학자라는 말이 있다. 말인 즉슨, 어떤 현상을 과학적으로 잘 설명하고, 편리하게 활용하게 하기 위해서, 좀 독특한 계산 방식이나 개념을 만들어내는 사람이 있을 것이다. 그런데, 이러한 계산 방식이나 개념이 어마어마하게 혁신적인 것일 경우에는 이것이 수학이 추구하는 미적 가치에 부합하여, 순수 수학적으로 매우 깊은 가치를 줄 때가 있을 것이다.

즉 자신이 생각해낸 현상의 설명 방식이 너무나 혁신적이기 때문에, 그 표현 수단으로 새로운 것을 만들었다. 그런데, 혁신적인 것을 설명하기 위해 개발한 표현 수단 역시 기막히게 혁신적이라서, 과학 뿐만아니라 수학에도 대단한 충격을 주는 이런 과학자를 왕과학자라고 한다.

예를 들면, 뉴턴은 물체의 뉴턴 역학적 운동을 설명하기 위해 미적분학을 만들었다. 또한 디락은 양자역학에 있어서 자신의 이론을 설명하는 과정에서 디락 델타 함수를 도입하여 사용했고, 이것은 초함수론을 형성하는 데 큰 영향을 미쳤다. 이에 비해, 아인슈타인의 일반 상대성 이론은 이들 못지않게 위대한 과학적 업적이기는 하나, 그는 그 표현 과정에서는 다만 텐서 해석과 리만 기하학을 사용할 뿐이므로, 이러한 왕과학자의 반열에는 끼지 못한다. 또한 맥스웰의 전자기학 역시 위대한 업적일 것이나, 그의 생각에 수학의 절묘한 응용이 포함되어 있을 지언정 여러모로 수학사상을 혁신시킨 왕과학자는 아니다. 좀 더 넓은 범위로 생각한다면, 실험적으로 전기장의 개념을 상상하여 벡터장에 대한 다양한 연구를 고무시킨 패러데이도 왕과학자에 엉성하게 포함 될지도 모르겠다.

반대로 수학적 상상력에 근거한 추론들이, 계산 속도를 증가시키는 것 뿐 아니라, 순수한 과학이 놓친 성질까지 일깨우는 일은 이보다 훨씬 더 자주 일어난다. 많은 수학자들과 과학자들이 왕과학자에 대칭적인 왕수학자라고 불리울만한 일들을 헤아릴 수 없이 많이 했다. 덕분에 별로 희귀하지가 않아서, gerecter가 왕수학자라는 말을 쓸 때는 없다.



"; if (isset($options[timer])) print $menu.$banner."
".$options[timer]->Write()."
"; else print $menu.$banner."
".$timer; ?> # # ?>