페르마의마지막정리

&[삐에르 드 페르마(Pierre de Fermat, 1601-1665): 역사상 가장 유명했던 아마추어 수학자. 천재적인 직관력과 호기심으로 수많은 수학 문제와 증명을 완성했지만, 단 한번도 자신의 '연구 결과'를 세상에 발표한 적이 없었음. 특히 난잡하기 이를데 없는 그의 필기와 기록들 덕분에 도대체 이 사람의 사고가 어디까지 도달했는지 아무도 알지 못함.&]

페르마는 프랑스 사람으로 17세기 초중반에 활동하였던 수학자이다. 해석기하를 창안하고, 확률론, 정수론에서 빛나는 업적을 남겼다. 그의 마지막 정리라고 불리는 것은 평소 페르마가 탐독하던 디오판토스의 '산술' 책 명제 2.8 옆 빈칸에 적어 놓은 것이다. '산술' 책의 명제 2.8은 완전제곱수가 그보다 작은 두수의 완전 제곱으로 표현되는 경우가 많다는 것이였는데(피타고라스정리가 성립하는 정수쌍을 생각하면 됨) 페르마가 그 명제 옆 빈 칸에 다음과 같은 글을 써 놓았다.

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그러나 3제곱은 그보다 작은 두수의 3제곱의 합으로 나눌 수는 없고, 4제곱을 그보다 작은 두 수의 4제곱의 합으로 나눌 수는 없으며, 일반적으로 n제곱을 그보다 작은 두수의 n제곱의 합으로 나눌 수는 없다. 이에 대해 나는 놀라운 증명을 알아냈는데 이 여백에 그것을 담기는 너무 좁다.

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum notestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere; cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
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"n이 2보다 큰 정수일 때 X ⁿ + Y ⁿ = Z ⁿ 을 만족하는 (X,Y,Z)의 양의 정수 해가 존재하지 않는다" 는 것이다.

그런데 페르마는 자신은 그 증명을 했지만 여백이 좁아 생략했다고 주장하였고, 이후 300년 넘게 수학의 난제로 남았다. 그러나 앤드류 와일즈 교수에 의해 1994년 완벽하게 증명되었다.

하지만 와일즈 교수가 사용한 증명 방법은 페르마가 살던 시절에는 알려져 있지 않은 기법을 사용하고 있다. 페르마는 훨씬 깔끔하고 멋진 증명을 했거나, 혹은 잘못된 증명을 했을 것이다.

'페르마가 실제로 증명을 하였을까'하는 의문에 대한 지배적인 의견은 아마 그가 증명한 것으로 착각하였다는 것이다. (정확히는 알 수 없으나 아마도 그 이후 실패한 코시나 라메와 비슷한 경우였을지도 모른다.) 와일즈의 증명법은 매우 복잡한 최첨단의 내용을 품고 있고 분량도 150쪽에 달하는 논문이므로, 이 증명이 페르마가 한 증명이었을 가능성은 전혀 없다.