요약: 밀도범함수이론(density functional theory)의 기본개념에서 출발하여 어떻게 구현(혹은 구)할 수 있는지를 다룬다.
TODO: 밀도범함수이론으로 무엇을 할 수 있는지 혹은 밀도범함수 framework안에서 어떻게 문제를 해결하는지
1. What? ¶
물질내부에 전자가 들어있는 모양과 그 에너지를 양자역학적으로 계산하기 위한 이론의 하나. Fermi, Thomas 및 Dirac이 고안한것을 Walter Kohn교수가 발전시킨 것이다. (특별히 이를 화학에 응용한다면 어떤 분자가 세상에 존재할 수 있는지 없는지의 여부, 특정 분자의 모양과 성질 등등을 예측할 수 있다.) 컴퓨터를 사용하는 과학 계산들 중에서, 가장 널리 쓰이는 양자역학 계산 분야 중 하나이다. Walter Kohn교수는 1998년에 이 업적을 인정받아 노벨상을 받았다.
그러나, 상사 구조를 갖는 다체 문제에 어디든 적용할 수 있으므로, 최근 전자구조와 별 상관 없는 많은 통계 물리학에 사용되고 있기도 하다.
2. Basic concept ¶
물질의 성질을 공부하려면 {많은 원자핵}+{많은 전자}문제를 풀어야 한다. 그러나, 수소와 같이 단순한 원자가 아닌 복잡한 분자 혹은 고체, 등등에 대한 문제를 풀기는 불가능(이론상 가능하지만 현실적으로는 불가능하지요.)하므로 근사적인 해를 찾는 방법이 필요하다. 첫번째 가정으로 전자보다 수천배이상 무거운 핵은 움직이지 않는 다고 생각하고, 원자핵의 정전기장 에서 움직이는 전자의 운동으로 표현하는 것이다. (본-오펜하이머 근사) 다시 말해서, {많은 전자}계 문제만을 푸는 것이다.
(Schrödinger equation은 각론일 뿐입니다. Schrödinger 방정식의 약점은 한개 입자에 대한 방정식이기 때문에 많은 입자 문제에는 적용할 수 없습니다. 그리고 만약 상대론적인 효과를 생각한다면, Schrödinger equation이 아닌 Klein-Gordon혹은 Dirac equation을 풀어야 하겠지요. 본질은 원자핵+전자문제).
두번째 가정(혹은 근사)으로 밀도범함수이론에서는 전자의 파동함수 대신 전자의 밀도함수를 사용하고(이것에 대해서는 Hohenberg와 Kohn이 수학적으로 정확히 그렇게 할 수 있다는 것을 증명했습니다. 아래 수학부분 참조), 공간상의 어떤 점에 전자가 있을때 다른 모든곳에서 오는 영향을 그점에서의 포텐셜(potential energy)하는 평균장 근사(Mean Field Approximation)를 써서 전자한개문제로 바꾸어서 손쉽게 계산하도록 하고 있다.쌘님!!! 질문있어요. 밀도함수는 어떻게 구해요?
밀도범함수의 출발은 원자핵+전자 시스템을 풀기위해 시작됐지만 이론적으로 많은 전자문제가 나오는 문제면 적용가능하다 할 수 있다.전자의 파동함수들을 절대값을 구해 제곱해서 체워진 준위까지 더해주면 되겠다.
$$\rho(\vec{x})=\sum_{i \in {\rm OCC}} |\psi_i(\vec{x})|^2$$
$$\rho(\vec{x})=\sum_{i \in {\rm OCC}} |\psi_i(\vec{x})|^2$$
3. Potentials ¶
이러한 짓거리를 하고 나면 시스템의 포텐셜은
- 외부요인에의한 포텐셜(주로 원자핵 혹은 이온이 전자에 어떻게 영향을 미치나를 기술한다 (혹은 그렇지 않을 수 도 있다). 원자핵+전자로 해서 모든 전자고려한다면 온전자(all electron)계산 이온+전자(보통 가전자)로 고려한 경우는 가짜포텐셜(pseudopotential)계산이 해당되겠다.) $V_{{\rm ext}}$,
- 전자들끼리의 정전기적 상호작용(하트리포텐셜라 한다.),
$$V_H(\vec{x})=\int d^3 x' \frac{\rho(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|}$$
- 전자를 서로 교환했을때 (순전히 양자역학에서만) 나타나는 교환-상관(exchange-correlation)포텐셜이 있다. $V_{{\rm xc}}$
그리고 국소전자밀도에만 의존하는 교환-상관 포텐셜 범함수(functional)를 사용하게 되면 국소 밀도 근사(local density approximation)라고 하고 선형근사를 쓰게되면 일반화된 기울기 근사(generalized gradient approximation)이라고 한다. 많은 경우 국소 밀도 근사만으로 시스템을 잘 설명하지만 전하이동이 큰 시스템에서는 잘 맞지 않는 경항이 있다. (이게 평균장 근사를 도입해서 생기는 부작용중 하나입니다.)
기술적으로(technically) 공간상의 어떤 점에서 함수 값을 구할때 모든공간의 정보를 필요로한 경우 이를 논로컬(non-local)하다고 말하고 해당점의 정보만 필요한 경우를 로컬(local)하다고 말한다. 위의 포텐셜에서는 외부요인에 의한 포텐셜은 local혹은 non-local할 수 있고, 하트리포텐셜은 확실히 non-local하며, local density approximation을 사용했을때는 exchange-correlation potential은 local한데 이 근사를이용하지 않으면 non-local이 된다.
4. Mathematics ¶
Hohenberg 와 Kohn의 정리:
H \psi(\vec{x}) = E \psi(\vec{x})
$$
여기에서 Hamiltonian $H$는
$$
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{{\rm ext}} (\vec{x}) + V_{{\rm H}} (\vec{x}) + V_{{\rm xc}} (\vec{x})
$$
$m$은 전자 질량.
- 하밀토니언이 주어지면 파동함수를 구할 수 있고 파동함수에서 밀도함수를 구할 수 있는데 (이론상) 밀도함수에서 파동함수를 구할 수도 있다. 즉, 파동함수와 밀도함수는 일대일 함수 관계에 있고(bijective) 파동함수와 하밀토니언또한 일대일 함수 관계에 있다. 결국 밀도함수와 하밀토니언은 일대일 함수 관계에 있다. (invertibility) : 말인 즉슨, 계산 과정에서, 하밀토니언, 파동 함수, 밀도 함수는 같은 대상을 표현한 서로 다른 표현 방식에 지나지 않을 뿐, 같은 것이다.
- 변분원리를 이용해서 정확한 바닥상태 에너지를 계산 할 수 있다. (variational principle)
- 외부에서 오는 포텐셜을 뺀 나머지는 언제나 같다. (universality)
정확한 바닥상태 밀도함수는 Kohn-Sham방정식이라고 하는 Schrödinger방정식 비슷하게 생긴놈을 풀면 구할 수 있다.
$$H \psi(\vec{x}) = E \psi(\vec{x})
$$
여기에서 Hamiltonian $H$는
$$
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{{\rm ext}} (\vec{x}) + V_{{\rm H}} (\vec{x}) + V_{{\rm xc}} (\vec{x})
$$
$m$은 전자 질량.
5. How to solve ¶
정리하면
- 전자 밀도를 구하기 위해 전자의 파동함수들을 이용하고
- 전자 밀도를 이용해 포텐셜을 계산한다.
- 주어진 포텐셜로 부터 Schrödinger 방정식 비슷하게 생긴 Kohn-Sham 방정식을 푼다. 푼 결과는 전자의 파동함수이다.
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보통하는 방법은 처음에 "적당히" 파동함수를 찍고(tight-binding 방법으로 estimate합니다.) 1, 2, 3의 과정을 거치면 처음에 찍은 파동함수 보다는 나은 파동함수가 나온다. 다시 요걸 input으로 해서 돌리자 (실제론 깨끗이 output을 input으로 돌리면 수렴이 잘 안되기 때문에, 적당히 (상당히 보수적으로) input과 output을 잘 섞는다.). 그면 좀더 나은놈이 나오고 input과 output의 차이를 무시할 수 있을때까지 하면 되겠다. (보통 한 20스텝정도면 수렴됩니다.) 이걸 self-consistent("자기무당착"이라고 번역하는 사람이 있는데 그 번역을 싫어해서...)라고 합니다.
또 하나 질문은 자기무당착 과정을 통해서 얻는 밀도함수가 정말로 바닥상태의 밀도함수라고 생각할 수 있나는 질문이 가능합니다. 이것의 답은 그렇게 하는것 말고 특별히 다른 대안이 없다는 기술적이 답변도 있고, 대분의 시스템에서 그 답이 옳다는 경험적 답이 있습니다. -.- 6. 쉬운 설명 ¶
전자들이 싸돌아 다니는 분자들에서 전자들이 얼마나 불안하고 빨리 싸돌아다니고 있는지 그 에너지를 구하려면 양자역학적으로 묘사해야 된다고 한다. 그런데 하나 이해하고 계산하려고 해도 머리가 지끈거리는 양자역학 계산을 수십개 수백개 전자에 대해 하려 한다면? (아주 단순한 분자인 부탄 가스 분자 2개만 있어도 전자 숫자가 백개에 이른다.) 그것은 너무나 긴긴 시간을 소모하는 일이다.
그래서 생각한 방법인 즉슨, 전자 하나 하나의 움직임을 쫓아가지말고, 전자 무더기를 한 덩어리의 양으로 따져 보자는 것이다. 그래서 전자가 자주 출몰하는 지역에는 덩어리가 많이 쏠려 있고, 전자가 덜 출몰하는 지역에는 덩어리가 조금밖에 없는 울퉁불퉁한 도넛의 모양으로, 전자들의 떠돌아다니는 영혼의 서글픈 그림자만 그려보는 것이다. 전자 하나 하나를 따지지 않고, 도넛으로된 전자 덩어리만 생각해도 에너지를 구하는 데 큰 문제가 없다고 하니까. 도넛으로된 전자 덩어리의 모양과 에너지와의 관계를 표시하는 수식이 KS 방정식이다.
- Self-consistent 방법
- 교환 에너지(exchange energy)
두 전자는 열심히 뛰어다녔음에도 불구하고, 두 전자가 정확히 자리를 바꾸기만 한 경우에는, 전자가 분명히 많이 움직여서 에너지를 갖고 있었다고는 하지만, 거국적으로 보았을 때는 아무런 변화가 없었던 것이고, 이 것은 양자역학에서는 전자가 움직이지 않았다는 말과 다를바 없게(!) 평가되어야 한다. 즉 이런 "자리만 바꾸기"가 많이 일어난다면, 움직였다고 한들 움직이지 않은 것이나 다를바 없는 것들이 많았으므로, 실제 에너지는 더 낮아져야만 한다. (양자역학적으로, 그런 것은 움직인 것이 아니다.)
밀도범함수론은 전자들이 선풍기의 날개나 헬리콥터 날개 처럼 열라게 빨리 싸돌아다녀서 멀리서 보면 마치 덩어리처럼 보인다는 식으로 전자를 표현하고 있다. 따라서 전자끼리 자리만 바꾼 경우에는 움직이지 않은 것으로 치는 것을 따로 계산해 주어야 한다. 이런 자리만 바꾼 경우가 얼마나 있는지를 도넛의 모양을 대강 보고 짐작해 주어야 하며, 이 짐작을 하는 방법이 바로, "교환 에너지 범함수"라는 것이다. 실제로는 코릴레이션(상관성) 에너지 라는 것도 동시에 고려해 주므로, 교환 코릴레이션(상관성) (exchange correlation) 범함수라는 것을 사용하게 된다.
좋은 교환 코릴레이션 범함수를 구하는 방법은 딱히 정해져 있지 않다. 대강 만들어내는 것이고, 기존의 방법들에서 나온 결과를 참조시켜 작동하도록 하기도 한다. 최근에는 B3LYP라는 범함수가 대체로 모든 경우에 큰 오류가 없다고 평가받고 있다.
7. Software ¶
백번듣는것보다 한번보는게 낫고 백번보는것보다 한번 해보는게 좋다는 말이 있듯이 밀도범함수이론을 컴퓨터에서 돌려볼 수 있습니다. 여기에는 대개 두가지 방법을 생각할 수 있습니다. 첫째 혼자서 혹은 팀을 짜서 구현하는 것이고 두번째 방법은 남이 짜놓은걸 가져다가 잘 쓰면 되겠습니다.
후자의 경우를 먼저 살펴보면 ![[http]](/ns/imgs/http.png)
ElectronicStructure.org/software에 공짜 software를 구할 수 있는 다수의 link가 있습니다. (화학쪽 software로는 NWChem과 GAMESS가 있다고 합니다.) 대부분의 software가 기본적으로 OS는 Unix 혹은 Linux로 가정하고 있고 다른 많은 scientific software 배포본이 그렇듯이 FortranLanguage source가 있고 이걸 compile해서 쓰는 형태입니다. 꼭 그렇지는 않지만 상용 FortranLanguage compiler가 필요할 것으로 생각할 수 있습니다. Definitely, BLAS나 LAPACK 같은 수학 library가 필요할텐데 netlib에서 구할 수 있을 겝니다. 다음에 compile된 program을 돌리기 위해서는 작은 문제가 아니라면 (커다란 메모리가 필요하고 따라서 수렴하는데 오랜시간이 필요한 문제 (왜냐하면 order N algorithm이 적용되어 있지 않다면 O(N^3)만큼의 시간이 필요합니다.)) Supercomputer혹은 Linux cluster가 필요할 것으로 생각됩니다. 물론 source code를 쉽지는 않겠지만 읽기만 하신다면 문제가 없겠습니다.
ElectronicStructure.org/software에 공짜 software를 구할 수 있는 다수의 link가 있습니다. (화학쪽 software로는 NWChem과 GAMESS가 있다고 합니다.) 대부분의 software가 기본적으로 OS는 Unix 혹은 Linux로 가정하고 있고 다른 많은 scientific software 배포본이 그렇듯이 FortranLanguage source가 있고 이걸 compile해서 쓰는 형태입니다. 꼭 그렇지는 않지만 상용 FortranLanguage compiler가 필요할 것으로 생각할 수 있습니다. Definitely, BLAS나 LAPACK 같은 수학 library가 필요할텐데 netlib에서 구할 수 있을 겝니다. 다음에 compile된 program을 돌리기 위해서는 작은 문제가 아니라면 (커다란 메모리가 필요하고 따라서 수렴하는데 오랜시간이 필요한 문제 (왜냐하면 order N algorithm이 적용되어 있지 않다면 O(N^3)만큼의 시간이 필요합니다.)) Supercomputer혹은 Linux cluster가 필요할 것으로 생각됩니다. 물론 source code를 쉽지는 않겠지만 읽기만 하신다면 문제가 없겠습니다.다음에 전자의 경우를 살펴보겠습니다. 구현하는데 제일(?) 중요한 사항은 basis set을 결정하는 일이라고 생각합니다. (Basis set이 바뀌면 representation 쉽게 말해서 수식이 바뀌기 때문입니다.) 흔히 쓰이는 basis set은 평면파(plane wave)와 local orbital (gaussian을 사용한다해서 Gaussian이라고 하는 유명한 software가 있지요.)가 있습니다. 그 다음 결정할 일은 all electron을 할건지 pseudopotential을 쓸건지 또 교환상관포텐셜은 어떤껀걸 쓸지를 결정합니다. 이게 굵은 가지는 결정되었고 세부사항으로 어떤 platform에서 돌릴지 어떤 수학 라이브러리를 쓸것인지 결정하고 code를 쓰면되겠습니다. (숙련된 programmer라면 대략 몇달만에 겨우 돌아가는 code를 만들 수 있을 것으로 생각되고, 물론 그 code가 쓸만하게 만드려면 수년에서 수십년이 필요할 것으로 생각됩니다.)
8. References ¶
Kohn 교수의 original idea가 담긴 논문은:
- P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. 136B, 864 (1964).
- W. Kohn and L.J. Sham, Phys. Rev. 140, A1133 (1965).
- R.M. Dreizler and E.K.U. Gross, Density Functional Theory, Springer-Verlag (1990) ISBN 3-540-51993-9 or ISBN 0-387-51993-9.
- R.G. Parr, W. Yang, and Y. Weitao, Density-Functional Theory of Atoms and Molecules, Oxford University Press ISBN: 0195092767
- 이외에도 Amazon에서 Density Functional Theory로 검색해보면 더 많은 책을 발견할 수 있습니다.
9. Glossary ¶
- 물질(material)
물체(matter)가 실제 존재하는 것을 지칭한다면 각 물체마다의 공통점을 뽑아 분류할 수 있을것이다. 이러한 관점에서 물질이라는 단어를 사용한다. 자연과학이 발전하기 전에는 그다지 사용되지 않았던 단어인데, 20세기 들어서 각광(?) 받는 단어. 예) 물질적세계관.
- 이론(theory)
어떤 현상을 체계적으로 설명하는 논리. 이론가 이지만, 언제나 이론이 틀릴 수 있다고 생각하지요.
- 전자(electron)
소립자의 한 종류. 일본어에서 유래되서 "자"가 붙는다. J.J. Thompson이후로 전자의 존재를 확신하게 되었다. 물질내부에서는 원자핵 주변에 확률적으로 있는게 전자다. 지난세기동안 문명을 볼때 전자를 얼마나 잘 다룰수 있나가 기술력이었습니다. 다음 세기동안도 마찬가지가 아닐까 생각하는데...
- 전자 밀도 함수(electron density)
말 그대로 공간상의 한점에서 전자를 발견할 확률밀도이다.
- 범함수(functional)
보통의 함수(function)는 숫자(들)를/을 숫자(들)로 바꿔주는 것. 즉, 숫자(들) --> 숫자(들). 범함수(functional) 는 함수의 함수로, 함수 --> 숫자(들) 로 바꿔주는 것을 의미한다. 물리학적인 관점에서 본다면, 함수(function)는 공간상의 한점에서 정의되는 성질이라 할 수 있고, 반면에 범함수(functional)는 공간전체로만 정의되는 성질이라 할 수 있다.
- Kohn-Sham 방정식(equation)
Kohn과 Sham이 만든 방정식. 많은 전자문제를 풀기위해 평균장이론을 도입 한개의 전자문제로 환원시킨것 형태상 Schrödinger 방정식과 비슷하게 생겼지만 차이점은 Kohn-Sham 방정식을 풀기위해 자기무당착의 과정을 통해서 푼다.
- 자기무당착(self-consistent)
방정식의 결과로 얻어지는 양이 방정식에 들어 있는 경우, 처음에 "적당히" 가정해서 답을 얻고 그 답을 이용해서 다시 답을 구하는 과정을 반복해서 이전과정에서 구한 답과 "똑같을" 때가지 반복하는 일련의 과정.
- Basis set
Basis set은 Hilbert space를 span하는 complete set입니다. 때문에 basis set이 바뀌면 representation 쉽게 말해서 수식이 바뀌기 때문입니다. 흔히 쓰이는 basis set은 평면파(plane wave)와 local orbital (gaussian을 사용한다해서 Gaussian이라고 하는 유명한 software가 있지요.)가 있습니다.
- BLAS(Basic Linear Algebra Subroutines) LAPACK(Linear Albegra PACKage)
10. Opinions ¶
이곳이 이글에 대한 의견을 남겨두십시요. 꼭 반영하겠다라는 거짓말은 안하겠습니다. 참고하겠습니다.
기존 노스모크에 있는 다른 연관된 페이지들과 연결에도 힘써주셨으면 합니다(저는 관련지식이 없어서 힘드네요). 밀도범함수이론 페이지는 내용상 OrphanedPages인 것 같습니다. --DaNew
--DaNew
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--알겠사옵나이다. 이미 물리학분류에 추가는 했사온데 소인의 지식도 짧아(?) 어느 페이지가 관련이 있는지 모르겠나이다. 통촉하여 주시오소서.
다뤄지는 내용이 매우 깊이가 있는 것 같습니다. 노스모크보다 개인위키에 ExtractPage하심을 고려해보시면 어떨까요 양자역학과 양자역학토론에 어지럽게 널려있는 이야기들을 잘 정리하여, 양자역학의 기본 개념에 대한 페이지들을 마련한 뒤, 슈뢰딩거 방정식과 그 풀이에 대한 간단한 설명을 제시한 후, 1차원/3차원 포텐샬(주로 수소원자 문제)에 대해 차례로 가볍게 설명하고 나서, 주기적 포텐샬 문제를 언급하여 고체물리에 대한 기초를 닦은 뒤라면, 밀도범함수이론 페이지와 연결할 수 있는 빌미를 조금이나마 찾을 수 있을지도 모르겠습니다. 무지하게 지난한 작업이겠지만. =( --낙지
.png ":-)")
-- --DaNew몇가지 개인적인 문제가 있는데요. 첫째, 저가 있는 연구소는 파월이 아주 탄탄(?)해서 개인 홈페이지는 만들고 싶긴한데 원천적으로 봉쇄돼있고요. 두번째, 저가 공짜로 홈페이지 서비스하는 국내 호스트 몇곳을 둘러 봤는데 저가 쓰는 Linux에서는 쓰는게 녹녹하지 않더군요. Shell prompt를 얻을 수 있으면 왔다인데, 물론 이거하는 동내는 없겠지요. 혹시 추천할 만한 호스트 있사온지요?
음, 소생이 충분히 이해하기에 무진장 어렵습니다! 어려운 것인지 이해가 불가능한 것인지조차 구분할 수가 없나이다. 그러나 일반인이 이해하기 어렵다거나 다루려는 내용의 범위가 너무 깊다거나 한 것이 '우리와남을위해'라는 원칙을 벗어나는 일은 아니라 생각됩니다. 노스모크가 잡종적지식의 터로 허용되는 곳이라면, 어렵고 깊이있는 내용 역시 다루어질 수 있다고 봅니다. 다만, 백과사전을 만들려는 듯한 무리한 노력을 하고 있는 것이 아니라면 말이지요. 제 눈에는 ohdh2003님의 밀도범함수이론페이지가 백과사전을 만들려는 태도로 비치지는 않습니다. ohdh2003님께서 유일하게 정성을 많이 들이고 있는 페이지입니다. OrphanedPages는 어떤 곳에도 링크되지 않은 페이지로 볼 것이 아니라 관심을 받지 못하는 페이지로 봄이 옳다고 생각됩니다. 지금까지는 '링크'가 관심의 측정도구로 여겨져 온 것 같습니다. '링크'는 관심을 표현하는 도구가 될 수야 있겠지만 그것이 전체적 관심을 측정해 주지는 못한다 생각됩니다. (앗! 또 길어졌다.) 아무튼 ohdh2003님은 밀도범함수이론 페이지에 씨를 뿌리고 물을 주고 거름을 주며 오랫 동안 가꾸어 오고 있습니다. 한 번도 그 관심을 놓은 적이 없다는 것만큼은 제가 보증합니다. (띵~!@#$%) 과학에 일자무식일 뿐인 제가 언젠가 늦깍이 과학자가 된다면 밀도범함수이론 페이지의 열매를 따 먹을 수 있으리라 생각됩니다. 그 때 ohdh2003님께 참으로 고마워 하게 될 겁니다. 우리와남을위해라는 원칙을 저는 이와 같이 이해하고 있습니다. 더욱이 개인위키운영하기에 부득이한 사정이 있다 하니 이 이야기는 이쯤에서 그만 둘 수 있었으면 합니다. 한 가지 어색한 느낌을 지울 수가 없는데 개인위키 권유가 너무 쉽게 너무 자주 언급되고 있는 게 아닌지요. --맑은 동의한표 --ChatMate
좀 생각할 문제는 이 페이지를 계속 둘것인가 없앨것인가인데, 맑은님등의 고견을 듯으면 그냥둬도 되지 않을까 하는 생각이 들고 이 페이지의 복사본이 wikipedia에 실렸기 때문에 존재의 의미가 있을까 생각이 드는데... 좀더(?) 생각해보고 결정하겠습니다. --ohdh2003혹시 실제 프로그램 소스가 있으시면 제게도 좀 부탁드려도 될까요... --musiki
--musiki
학술적인 목적하에 무료로 배포되는 패키지로는 대표적으로 NWChem 과 GAMESS 가 있습니다. 둘다 병렬처리를 위해서 memory allocation 하는 부분이 행렬 대각화 계산 부분과 복잡하게 얽여 있는데다, 비 객체지향으로 대부분이 코딩되어 있기 때문에, 전문가들과 긴밀히 접촉하시기 전에는 소스는 별 의미가 없을 것이고, 프로그램 사용자체를 익히시는 것은 어려움이 없으실 겁니다. 고체물리 쪽이라면, 3000 유로에 아카데믹 라이센스를 받을 수 있는 VASP 라는 프로그램이 종종 사용되곤 합니다만, 무료 프로그램도 분명 구하실 수 있으실 것이라 사료됩니다. -- gerecter
DeleteMe 여러모로 매우 감사합니다... NWChem 과 GAMESS 가 있습니다. 둘다 병렬처리를 위해서 memory allocation 하는 부분이 행렬 대각화 계산 부분과 복잡하게 얽여 있는데다, 비 객체지향으로 대부분이 코딩되어 있기 때문에, 전문가들과 긴밀히 접촉하시기 전에는 소스는 별 의미가 없을 것이고, 프로그램 사용자체를 익히시는 것은 어려움이 없으실 겁니다. 고체물리 쪽이라면, 3000 유로에 아카데믹 라이센스를 받을 수 있는 VASP 라는 프로그램이 종종 사용되곤 합니다만, 무료 프로그램도 분명 구하실 수 있으실 것이라 사료됩니다. -- gerecter --musiki